ヌル空間計算機
カテゴリー：線形代数行列のヌル空間（カーネル）を計算します。この計算機は、ヌル空間を張る基底ベクトルを見つけ、ランク、ヌル度、行の簡約などの関連計算を行います。
行列入力
行列の値を入力:
ヌル空間計算機とは？
ヌル空間計算機は、行列のヌル空間を見つけるのに役立つインタラクティブなオンラインツールです。ヌル空間は、カーネルとも呼ばれ、行列 \( A \) とゼロベクトル \( \mathbf{0} \) に対する方程式 \( A\mathbf{x} = \mathbf{0} \) のすべての解 \( \mathbf{x} \) の集合です。
公式：
\[ \text{Ker}(A) = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : A\mathbf{x} = \mathbf{0} \} \]
この計算機の機能
- 行列のヌル空間（カーネル）の基底を見つける
- 行列のランクとヌル度を計算する
- 行基本形（REF）と簡約行基本形（RREF）の両方を表示する
- ステップバイステップの計算を表示する（オプション）
- カスタム行列入力を受け付けるか、例の行列を使用することができる
ヌル空間計算機の使い方
- 行列の行数と列数を設定します。
- 行列フィールドに値を入力します。
- オプション：クイックデモのために例の行列を使用します。
- 表示設定を選択します：小数または分数、小数点以下の桁数、ステップを表示するかどうか。
- 計算ボタンをクリックします。
- 基底ベクトル、ランク、ヌル度、REF、RREFなどの結果を確認します。
ヌル空間が重要な理由
行列のヌル空間を理解することは、線形方程式を扱う上で重要です。それはあなたが：
- 同次線形方程式系を解く
- 行列変換が一対一であるかどうかを理解する
- 行列方程式の一般解を見つける
- 線形独立性とベクトル空間を分析する
線形代数における応用
ヌル空間は単なる学問的概念ではなく、多くの高度な計算や分野で使用されています：
- 線形システム：しばしばガウス・ジョルダン消去計算機と共に使用される
- 変換：行列対角化計算機やQR分解計算機などのツールに関連している
- 行列操作：行列逆行列計算機、行列乗算計算機、行列減算計算機などのツールを補完する
- 信号および画像処理、制御システム、データ分析
重要な概念と関係
- ランク：行列のピボット列の数（RREFにおける非ゼロ行）
- ヌル度：ヌル空間の次元（自由変数の数）
- ランク-ヌル度定理：
\[ \text{Rank}(A) + \text{Nullity}(A) = \text{Number of columns in } A \]
よくある質問（FAQ）
ヌル空間の基底とは何ですか？
基底とは、ヌル空間を張るベクトルの集合です。方程式 \( A\mathbf{x} = \mathbf{0} \) のすべての解は、これらのベクトルの線形結合として表すことができます。
ヌル空間が自明な場合はどうなりますか？
方程式 \( A\mathbf{x} = \mathbf{0} \) の唯一の解がゼロベクトルである場合、ヌル空間は自明であると言います。これは、行列がフルランクであることを意味します。
これは行列の逆を見つけることに関連していますか？
はい。正方行列が自明なヌル空間を持つ場合、それは可逆であることを意味します。さらに探求するために行列逆行列計算機を使用できます。
ピボット変数と自由変数とは何ですか？
ピボット変数は、RREFにおける先頭の1がある列に対応します。自由変数は任意の値を取ることができるもので、ヌル空間の方向を定義します。
非正方行列に使用できますか？
もちろんです。このツールは、m × n 行列（m と n は 1 から 10 の範囲）に対して機能します。
他の行列ツールを探る
この計算機は、線形代数ツールの広範なセットの一部です。次にこれを試してみてください：
- LU分解計算機 — LU行列因子分解を使用して行列を分解する
- 行列指数計算機 — 行列の指数を計算する
- ベクトル加算計算機 — ベクトルを迅速かつ正確に加算する
- 行列転置計算機 — 行列の行と列を反転させる
- 擬似逆行列計算機 — ムーア・ペンローズ擬似逆を見つける
まとめ
ヌル空間計算機は、行列の基本的な特性を理解し探求するのを容易にします。試験勉強をしているときや、工学や科学の実際の問題を解決しているとき、このツールはステップを分解し、結果を明確に視覚化するのに役立ちます。行列除算計算機やQR分解計算機などの他の行列ソルバーと併用して、ツールキットを拡張してみてください。