幾何分布計算機

カテゴリー：統計
- 2025年5月16日
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成功確率 p の幾何分布に対する確率質量関数 (PMF)、累積分布関数 (CDF)、平均、分散、その他の統計を計算します。

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幾何分布について

幾何分布は、独立したベルヌーイ試行の列において、最初の成功を達成するために必要な試行回数をモデル化します。各試行の成功確率は p です。

2つの一般的なバリエーション
  • 試行回数: 最初の成功までの試行回数をカウントします（最初の成功を含む）。ドメイン: x ∈ {1, 2, 3, ...}
  • 失敗回数: 最初の成功までの失敗回数のみをカウントします。ドメイン: x ∈ {0, 1, 2, ...}

両方のバリエーションは実際に使用されるため、どちらを使用しているかを明確にすることが重要です。

主な特性
  • 記憶なしの特性: P(X > s + t | X > s) = P(X > t)
  • 平均 (期待値): E[X] = 1/p (試行) または (1-p)/p (失敗)
  • 分散: Var(X) = (1-p)/p² (両方のバージョン)
  • 最頻値: 常に 1 (試行) または 0 (失敗)
  • 歪度: (2-p)/√(1-p) > 0、右に歪んでいることを示す
応用

幾何分布は一般的に以下のモデルに使用されます:

  • 成功を達成するために必要な試行回数
  • イベントの最初の発生までの待機時間
  • 品質管理（欠陥を見つけるまでに検査されたアイテムの数）
  • 信頼性テスト（機器の故障までの試行回数）
  • 偶然のゲーム（特定の結果が出るまでのロール数）
  • 顧客獲得またはコンバージョンプロセスのモデル化
他の分布との関係
  • 幾何分布は、r = 1（1回の成功）の負の二項分布の特別なケースです。
  • 連続的な指数分布の離散的なアナログです。
  • 指数分布と同様に、唯一の離散的な記憶なしの分布です。

幾何分布とは何ですか？

幾何分布は、独立したベルヌーイ試行の系列において、最初の成功を達成するために必要な試行回数をモデル化する離散確率分布です。各試行には二つの可能な結果（成功または失敗）が存在します。特定の成功が観察されるまでイベントが発生するプロセスを分析するために、統計学で広く使用されています。

幾何分布には二つのタイプがあります：

  • タイプ1： \( X \) は最初の成功までの総試行回数です。
  • タイプ2： \( X \) は最初の成功までの失敗の回数（成功の試行は除く）です。

幾何分布計算機の目的

この計算機は、与えられた成功確率（\( p \)）と試行回数（\( X \)）に対して、以下の確率を計算するのを助けるために設計されています：

  • \( P(X = x) \)：特定の試行で成功が発生する確率。
  • \( P(X \leq x) \)：\( x \) 試行内で成功が発生する累積確率。

この計算機は、両方のタイプの幾何分布に対して詳細なステップバイステップの計算を提供し、ユーザーが関連する問題を理解し解決するのを容易にします。

計算機の主な機能

  • デュアルモードサポート： ユーザーが二つのタイプの幾何分布のいずれかを選択できるようにします。
  • 正確な結果： 正確かつ累積的な確率を精度を持って計算します。
  • ステップバイステップの説明： プロセスを理解するのを助けるために詳細な計算を提供します。
  • ユーザーフレンドリーなインターフェース： シンプルな入力フィールドと直感的なドロップダウンで分布タイプを選択します。
  • リアルタイムエラーハンドリング： 無効な入力に対してユーザーに警告し、修正をガイドします。

幾何分布計算機の使い方

計算機を効果的に使用するための手順は以下の通りです：

  1. 成功確率（\( p \)）を入力： 0から1の間の値を入力します（例：50%の場合は0.5）。
  2. 試行回数（\( X \)）を入力： 試行回数を正の整数として提供します（例：3）。
  3. 分布タイプを選択： ドロップダウンを使用して、\( X \) が最初の成功を含むか、最初の成功前の失敗のみをカウントするかを指定します。
  4. 計算をクリック： "計算"ボタンを押して結果を計算し、ステップバイステップの説明を表示します。
  5. 入力をクリア： "クリア"ボタンを使用して入力をリセットし、新しい計算を開始します。

幾何分布の応用

幾何分布は、以下のようなさまざまな分野で一般的に使用されています：

  • 品質管理： 検査中に欠陥品を検出する可能性を判断するため。
  • スポーツ分析： 特定のプレイでチームが得点する確率をモデル化するため。
  • カスタマーサポート： 問題を解決するために必要な電話の数を予測するため。
  • ファイナンス： 利益を得るために必要な投資の数を推定するため。

よくある質問（FAQ）

  • 成功確率（\( p \)）は何を表しますか？
    成功確率（\( p \)）は、単一の試行で成功する可能性です。0から1の間の値でなければなりません。
  • 試行回数（\( X \)）は負の値にできますか？
    いいえ、\( X \) は正の整数でなければなりません。試行または失敗のカウントを表します。
  • 二つのタイプの分布の違いは何ですか？
    タイプ1では、\( X \) は成功の試行を含みます。タイプ2では、\( X \) は成功前の失敗のみをカウントします。
  • 結果をどのように解釈しますか？
    結果は、特定の試行で成功を達成する確率（\( P(X = x) \)）と、\( X \) 試行内での成功の累積確率（\( P(X \leq x) \)）を示します。
  • 無効な入力を入力した場合はどうなりますか？
    計算機はエラーメッセージを表示し、入力を修正するためのガイドを提供します。