無限級数計算機

カテゴリー：数列と級数
- 2025年7月27日
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無限級数の収束、部分和を計算し、数学的な級数を分析します。この計算機は、学生、数学者、エンジニアが級数の挙動、収束テスト、およびさまざまな無限級数の近似を理解するのに役立ちます。

級数の定義

'n'をインデックス変数として使用します（+, -, *, /, ^, sin, cos, ln, expをサポート）
n₀
p/r
p級数（p）、幾何級数（r）などのため

分析オプション

項
部分和計算のため
桁

視覚化オプション

から
部分和をプロットするための範囲

高度な設定

ε
収束検出のための閾値

無限級数の理論

無限級数は無限に多くの項の和です。収束の挙動を理解することは、微積分、物理学、工学、数学的分析において重要です。

級数の種類
  • 幾何級数: ∑ar^n = a/(1-r) ただし |r| < 1
  • p級数: ∑1/n^p は p > 1 の場合に収束し、p ≤ 1 の場合に発散します
  • 調和級数: ∑1/n は発散します（p = 1の場合）
  • 交互級数: ∑(-1)^n·a_n は特別な収束基準があります
  • 冪級数: ∑a_n(x-c)^n は収束半径を持ちます
  • テイラー/マクローリン級数: 関数を冪級数として表現します
収束テスト
  • 比率テスト: lim|a_{n+1}/a_n| = L。L < 1 の場合に収束し、L > 1 の場合に発散します
  • 根テスト: lim|a_n|^{1/n} = L。L < 1 の場合に収束し、L > 1 の場合に発散します
  • 積分テスト: 対応する関数の不適切な積分と比較します
  • 比較テスト: 既知の収束/発散級数と比較します
  • 極限比較テスト: 比較級数との比の極限を使用します
  • 交互級数テスト: 項が減少し0に近づく場合、級数は収束します
重要な級数値
  • バゼル問題: ∑1/n² = π²/6 ≈ 1.6449
  • リーマンゼータ: ζ(s) = ∑1/n^s さまざまな s の値に対して
  • 指数関数: e^x = ∑x^n/n!（すべての x に対して収束します）
  • サイン級数: sin(x) = ∑(-1)^n·x^{2n+1}/(2n+1)!
  • コサイン級数: cos(x) = ∑(-1)^n·x^{2n}/(2n)!
  • 自然対数: ln(1+x) = ∑(-1)^{n+1}·x^n/n ただし |x| < 1
応用
  • 数値解析: 関数や積分の近似
  • 物理学: 波動関数、量子力学、統計力学
  • 工学: 信号処理、制御システム、フーリエ解析
  • 経済学: 現在価値計算、成長モデル
  • コンピュータサイエンス: アルゴリズム解析、生成関数
  • 確率: モーメント生成関数、特性関数
収束の挙動
  • 絶対収束: ∑|a_n| が収束すれば ⟹ ∑a_n が収束します
  • 条件付き収束: ∑a_n が収束するが ∑|a_n| が発散します
  • 一様収束: 項ごとの操作に重要です
  • 収束の速度: 部分和が限界にどれだけ早く近づくか
  • 収束半径: 冪級数が収束する領域

免責事項: この計算機は無限級数の数値近似と理論分析を提供します。結果は計算精度の制限に影響される可能性があり、正確な数学的値を反映しない場合があります。厳密な証明や詳細な分析については、数学文献を参照し、結果を独自に確認してください。一部の級数は、この計算機の範囲を超えた高度な技術を必要とする場合があります。