行列積計算機

カテゴリー：線形代数
- 2025年6月20日
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2つの行列の積を計算します。行列の掛け算は、最初の行列の列数が2番目の行列の行数と等しい場合にのみ可能です。

行列Aの次元

行列Bの次元

行列A

行列B

表示オプション

行列の掛け算について

行列の掛け算は線形代数の基本的な操作であり、最初の行列の行と2番目の行列の列を組み合わせて新しい行列を生成します。

定義

行列の掛け算A × Bが定義されるためには、Aの列数がBの行数と等しくなければなりません。 Aがm × nの行列で、Bがn × pの行列である場合、その積C = A × Bはm × pの行列になります。

積行列の各要素cijは次のように計算されます:

cij = Σ (aik × bkj) for k = 1 to n

より簡単に言うと、結果行列の位置(i,j)の要素は、行列Aのi番目の行と行列Bのj番目の列のドット積です。

行列の掛け算の性質
  • 可換ではない: 一般に、A × B ≠ B × A
  • 結合的: (A × B) × C = A × (B × C)
  • 加算に対して分配的: A × (B + C) = A × B + A × C
  • 単位: A × I = I × A = A (ここでIは単位行列)
応用

行列の掛け算は以下の分野で使用されます:

  • 変換のためのコンピュータグラフィックス（回転、スケーリング、平行移動）
  • 機械学習とニューラルネットワーク（重みの計算）
  • グラフ理論（隣接行列）
  • 経済学（投入-産出モデル）
  • 物理学（量子力学、相対性理論）
  • 工学（構造解析、回路理論）

行列の乗算とは何ですか？

行列の乗算は、2つの行列を掛け合わせて新しい行列を生成する線形代数の基本的な操作です。 このプロセスでは、最初の行列（行列 \( A \)）の行を取り、2番目の行列（行列 \( B \)）の列と掛け合わせます。 結果として得られる行列は、行列 \( A \) の行数と行列 \( B \) の列数を持ちます。

行列の乗算における重要な条件は、行列 \( A \) の列数が行列 \( B \) の行数と等しい必要があることです。 これにより、結果の行列の各要素に対してドット積を計算できることが保証されます。

行列の乗算計算機の使い方

  1. ドロップダウンメニューを使用して、行列 \( A \) の行数と列数を選択します。
  2. 行列 \( B \) の行数と列数を選択します。行列 \( A \) の列数が行列 \( B \) の行数と一致することを確認してください。
  3. 入力グリッドに両方の行列の値を入力します。デフォルト値は、開始するための単位行列のような行列を提供します。
  4. 計算するボタンをクリックして乗算を実行します。
  5. 結果セクションで結果の行列を表示し、各要素のステップバイステップの計算を確認します。
  6. 行列をリセットしたい場合は、すべてクリアボタンをクリックして最初からやり直します。

計算機の主な機能

  • 乗算条件が満たされている限り、さまざまなサイズの行列を処理します。
  • 透明性と学習目的のために、ステップバイステップの計算を表示します。
  • MathJaxと統合されており、プロフェッショナルな数学的表記をレンダリングします。
  • 初期入力を簡素化するために、事前に入力された単位行列のような値を使用して簡単に操作できます。

よくある質問（FAQ）

1. 行列の乗算に必要な条件は何ですか？

行列 \( A \) の列数は、行列 \( B \) の行数と等しくなければなりません。たとえば、3 × 2 の行列は、2 × 4 の行列と掛け合わせることができます。

2. 行列が乗算に適合しない場合はどうなりますか？

行列 \( A \) の列数が行列 \( B \) の行数と一致しない場合、計算機はエラーメッセージを表示します。乗算を試みる前に、次元が互換性があることを確認してください。

3. この計算機は大きな行列を処理できますか？

はい、計算機はブラウザが計算をサポートできる限り、任意のサイズの行列を処理できます。ただし、非常に大きな行列は計算を遅くする可能性があります。

4. 結果はどの形式で表示されますか？

結果はMathJaxを使用して表示され、結果の行列とステップバイステップの計算の両方に対してクリーンでプロフェッショナルな数学的表記が提供されます。

5. この計算機は分数や小数の値を処理できますか？

はい、行列に分数や小数の値を入力できます。計算機は、ステップバイステップの詳細とともに正確な結果を計算して表示します。

結論

行列の乗算計算機は、線形代数に取り組む学生、教育者、専門家にとって貴重なツールです。数学の問題を解決したり、データを分析したり、高度なアルゴリズムを探求したりする際に、この計算機は行列の乗算を実行し、基礎となるステップを理解するためのシンプルで効果的な方法を提供します。