逆行列計算機

カテゴリー：線形代数
- 2025年8月8日
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ガウス・ジョルダン消去法、随伴行列法、LU分解などのさまざまな方法を使用して、正方行列の逆行列を計算します。この計算機は、段階的な解法と行列の特性分析も提供します。

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高度なオプション

値をゼロと見なすための閾値

行列の逆行列理論

正方行列 A の逆行列 A⁻¹ は、A × A⁻¹ = A⁻¹ × A = I となる行列であり、ここで I は単位行列です。すべての行列が逆行列を持つわけではなく、行列が可逆であるのは、その行列式がゼロでない場合のみです。

行列の逆行列を求める方法
  • ガウス・ジョルダン消去法: 行列を単位行列で拡張し、[I|A⁻¹]に行を簡約化します
  • 随伴行列法: A⁻¹ = (1/det(A)) × adj(A)、ここで adj(A) は随伴行列です
  • LU分解: A = LU に分解し、Ly = I、Ux = y を解きます
  • 余因子法: 余因子行列と行列式を使用します
可逆性の条件
  • 行列は正方行列でなければならない (n×n)
  • 行列式はゼロであってはならない
  • すべての行/列は線形独立でなければならない
  • 行列はフルランクでなければならない (rank = n)
  • すべての固有値はゼロであってはならない
行列の逆行列の特性
  • (A⁻¹)⁻¹ = A: 逆行列の逆は元の行列です
  • (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹: 積の逆は逆の積 (逆順) です
  • (Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ: 転置の逆は逆の転置です
  • det(A⁻¹) = 1/det(A): 行列式の関係
応用
  • 線形システムの解法: Ax = b → x = A⁻¹b
  • コンピュータグラフィックス: 変換行列とその逆行列
  • 統計: 多変量分析における共分散行列の逆行列
  • 工学: システム分析と制御理論
  • 暗号: 鍵生成と暗号化アルゴリズム

免責事項: この計算機は行列の逆行列に対する数値近似を提供します。結果は、特に条件の悪い行列に対して、浮動小数点精度の制限によって影響を受ける可能性があります。重要なアプリケーションの場合は、複数の方法を使用して結果を検証し、専門の数学ソフトウェアの使用を検討してください。

行列の逆行列の公式：
A が可逆な正方行列である場合、その逆行列 A⁻¹ は次の条件を満たします：
A × A⁻¹ = A⁻¹ × A = I
ここで I は A と同じサイズの単位行列です。

逆行列計算機とは何ですか？

逆行列計算機は、2×2 から 10×10 までの正方行列の逆行列を計算するための使いやすいツールです。ガウス・ジョルダン法、余因子法、LU分解など、いくつかのよく知られた方法をサポートしています。線形代数を学んでいる場合や、工学やコンピュータサイエンスなどの応用分野で行列を扱っている場合、この計算機は行列の逆行列計算を簡素化します。

行列の逆行列はなぜ便利ですか？

行列の逆行列を求めることは、多くの数学的および実用的な応用において重要なステップです。例えば：

  • 線形方程式の系を解く： x = A⁻¹b を使用
  • コンピュータグラフィックス： 行列の逆行列は、画像変換の変換や逆変換に使用されます
  • 制御システムと工学： 行列演算はシステム分析の中心です
  • 統計分析： 多変量モデルにおける共分散行列の逆行列

逆行列計算機の使い方

計算機を効果的に使用するには、次の手順に従ってください：

  • 行列のサイズを選択： 標準サイズ（2×2 から 6×6）から選択するか、カスタムの正方行列サイズ（最大 10×10）を入力します。
  • 入力方法を選択： 行列を手動で入力するか、事前定義された行列を選択するか、ランダム生成を使用するか、テキスト形式で値を貼り付けます。
  • 設定を行う： 数字の形式（小数、分数、または混合）を選択し、ステップと行列の特性を表示するかどうかを決定します。
  • 計算方法を選択： ガウス・ジョルダン消去法、余因子法、LU分解、またはすべての方法を比較するオプションがあります。
  • 「逆行列を計算」をクリック： 結果には逆行列、ステップバイステップの内訳（有効にした場合）、および正確性の検証が含まれます。

主な機能

  • 2×2 から 10×10 までの行列をサポート
  • ステップバイステップの解法の説明
  • さまざまな入力および出力形式をサポート
  • 逆行列の結果の自動検証（A × A⁻¹ = I）
  • 行列の特性分析（行列式、ランク、トレースなど）

含まれている高度な方法

この計算機には、代数や数値計算で一般的に扱われるいくつかの技術が含まれています：

  • ガウス・ジョルダン消去法： 行操作を使用して系を解決し、行列の逆行列を見つけるための一般的な方法。多くの行の簡約ツールにも見られます。
  • 余因子法： 余因子と行列の行列式を使用します。
  • LU分解： 行列を下三角行列と上三角行列（L と U）に分解します。このプロセスは、LU分解計算機や行列分解ツールでも使用されます。

よくある質問

  • この計算機は非正方行列を扱えますか？
    いいえ。逆行列を持つことができるのは正方行列（n×n）のみです。
  • 私の行列が可逆でない場合はどうなりますか？
    行列の行列式がゼロまたは非常にゼロに近い場合、ツールは行列が可逆でないことを示します。
  • 結果の精度はどのくらいですか？
    結果は浮動小数点演算に基づいており、好みの小数精度に丸めることができます。また、数値的安定性を評価するための条件数も表示されます。
  • どの方法を使用するのが最適ですか？
    小さな行列の場合、どの方法でもうまく機能します。大きな行列やより敏感な行列の場合は、LU分解またはガウス・ジョルダン法をお勧めします。

役立つかもしれない類似ツール

行列を定期的に扱っている場合、次の関連ツールも役立つかもしれません：

結論

逆行列計算機は、学習、教育、または線形代数の応用において、行列の逆行列を探求するための強力で簡単な方法です。明確な視覚的フィードバック、複数の解法、正確なステップバイステップの結果を提供し、行列の逆行列と関連する特性を深く理解するのに役立ちます。