QR分解計算機
カテゴリー：線形代数行列のQR分解を計算します。この計算機は、行列Aを直交行列Qと上三角行列Rの積に分解します。
行列の次元
行列の入力
QR因子分解とは何ですか？
QR因子分解は、行列 \( A \) を2つの行列の積に分解するために使用される数学的手法です：
- \( Q \)：直交（またはユニタリ）行列であり、その列は直交正規ベクトルです。
- \( R \)：上三角行列であり、対角線の下のすべての要素はゼロです。
数学的には、次のように表現できます：
\[ A = Q \cdot R \]
この手法は、数値解析、線形代数、線形方程式系の解法に一般的に使用されます。また、最小二乗近似や固有値計算などのアプリケーションにも不可欠です。
QR因子分解計算機について
このQR因子分解計算機は、任意の長方形または正方行列のQR分解を計算するのに役立つ使いやすいツールです。これは、迅速かつ正確に行列演算を行う必要がある学生、エンジニア、研究者に最適です。
計算機は、行列 \( Q \) と \( R \) およびその数学的導出を示す計算のステップバイステップの詳細を提供します。
主な機能
- カスタマイズ可能な行列サイズ：入力行列の行数と列数を選択します。
- ステップバイステップの説明：どのように \( Q \) と \( R \) が計算されるかを理解します。
- MathJaxレンダリング：結果を専門的な数学形式で表示します。
- 使いやすさ：異なる行列のために計算機を迅速にリセットして再利用できます。
QR因子分解計算機の使い方
- ドロップダウンメニューを使用して、行列の行数と列数を選択します。
- 入力グリッドに行列要素を入力します。各セルは行列 \( A \) の要素に対応します。
- "計算する"ボタンをクリックしてQR因子分解を計算します。
- 結果を表示します。これには以下が含まれます：
- 直交行列 \( Q \)
- 上三角行列 \( R \)
- 計算のステップバイステップの詳細
- やり直すには、"すべてクリア"ボタンをクリックして入力をリセットします。
QR因子分解の利点
QR因子分解は、以下のような数学的および計算的アプリケーションで広く使用されています：
- 線形方程式系を効率的に解く。
- 行列の固有値を見つける。
- 過剰決定系の最小二乗解を計算する。
- より良い精度のために数値アルゴリズムを安定化させる。
よくある質問
直交行列 \( Q \) とは何ですか？
行列 \( Q \) は直交正規列を持ち、各列の長さは1であり、他の列に対して直交しています。これは \( Q^T \cdot Q = I \) を満たし、ここで \( I \) は単位行列です。
上三角行列 \( R \) とは何ですか？
行列 \( R \) は、対角線の下のすべての要素がゼロである三角行列です。これは、方程式を解くことや計算を簡素化するために使用されます。
QR因子分解計算機は非正方行列を扱えますか？
はい！計算機は、行数が列数以上である限り、正方行列と長方形行列の両方に対応しています。
無効な入力を入力した場合はどうなりますか？
入力が無効な場合（例：値が欠けている、または非数値のエントリ）、計算機は入力を修正するように促すエラーメッセージを表示します。
今日からQR因子分解計算機を使い始めましょう
線形系を解決したり、数値解析を行ったり、線形代数を学んだりする場合、このQR因子分解計算機はタスクを簡素化し、基礎となる計算を理解するのに役立ちます。