ベクトル計算機

カテゴリー：線形代数
- 2025年8月5日
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ベクトルの加算、減算、内積、外積などのベクトル演算を計算します。この計算機は2Dおよび3Dベクトルの両方をサポートし、ステップバイステップの計算詳細を提供します。

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ベクトル演算について

ベクトルは大きさと方向を持つ数学的な対象です。物理学、工学、コンピュータグラフィックス、その他多くの分野で基本的な役割を果たします。この計算機は2Dおよび3D空間での一般的なベクトル演算をサポートしています。

主要なベクトル演算
  • 加算: 2つのベクトルの対応する成分を加算し、新しいベクトルを生成します。
  • 減算: 1つのベクトルの成分を別のベクトルから減算し、変位ベクトルを求めるのに役立ちます。
  • 内積: 2つのベクトルのスカラー積で、ベクトル間の角度に関連する単一の数値を提供します。
  • 外積: 入力ベクトルの両方に垂直なベクトルを生成します（3Dのみ）。
  • 大きさ: ベクトルの長さで、ピタゴラスの定理を使用して計算されます。
  • 正規化: 元のベクトルと同じ方向を向く単位ベクトル（長さ1）を生成します。
  • ベクトル間の角度: 内積の公式を使用して計算されます。
  • 射影: 1つのベクトルを別のベクトルに射影し、物理学やグラフィックスで役立ちます。
  • スカラー倍: ベクトルをスカラーで乗算し、大きさは変わりますが方向は変わりません。
応用

ベクトル計算は多くの分野で不可欠です：

  • 物理学（力、速度、場）
  • 工学（構造解析、電気回路）
  • コンピュータグラフィックスとゲーム開発
  • ロボティクスとナビゲーション
  • 機械学習とデータ分析
  • 幾何学と線形代数

ベクトルの加算:

$$ \vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x,\ a_y + b_y,\ a_z + b_z) $$

ドット積:

$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z $$

クロス積:

$$ \vec{a} \times \vec{b} = (a_y b_z - a_z b_y,\ a_z b_x - a_x b_z,\ a_x b_y - a_y b_x) $$

ベクトルの大きさ:

$$ |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} $$

ベクトル間の角度:

$$ \theta = \cos^{-1} \left( \frac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \right) $$

ベクトルの射影:

$$ \text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \left( \frac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} $$

正規化:

$$ \hat{a} = \frac{ \vec{a} }{|\vec{a}|} $$

スカラー倍:

$$ k\vec{a} = (k \cdot a_x,\ k \cdot a_y,\ k \cdot a_z) $$

ベクトル計算機とは？

ベクトル計算機は、2Dおよび3D空間で基本的なベクトル演算を行うための使いやすいオンラインツールです。ベクトルの加算、減算、ドット積、クロス積、大きさ、正規化、ベクトル間の角度、射影、スカラー倍などの計算をカバーしています。これにより、学生、教育者、エンジニア、線形代数や物理学に関わるすべての人にとって便利です。

ベクトル計算機の使い方

  • 次元数を選択します：2Dまたは3D。
  • ドロップダウンメニューから実行したいベクトル演算を選択します。
  • ベクトルの成分とスカラー（必要な場合）を入力します。
  • オプションを使用して小数点の精度を設定したり、計算手順を表示したり、ベクトルを視覚化したりします。
  • 計算ボタンをクリックして結果を取得します。
  • リセットをクリックして新しい計算を開始します。

主な機能

  • 段階的な結果: 計算の各段階を明確に説明します。
  • 2Dおよび3Dをサポート: 問題に適した次元を選択します。
  • インタラクティブな視覚化: ライブキャンバス上でベクトルと結果を確認できます。
  • 多様な演算: 単純なベクトルの加算からクロス積や射影まで。
  • 精度の制御: 必要に応じて小数点の桁数を調整します。

なぜこの計算機を使うべきですか？

ベクトル数学は多くの学問や仕事の分野で不可欠です。この計算機は、数学ではなく問題に集中できるようにプロセスを簡素化します。物理学の力の分析、コンピュータグラフィックスの方向データ、線形代数の問題解決など、正確な回答を迅速に提供します。

また、ベクトル加算ツールなどの他のツールと組み合わせて、ベクトルの組み合わせを探求したり、ベクトルの大きさツールを使用してベクトルの長さを特定したりできます。より広範な行列関連の問題に取り組む際には、LU分解計算機、QR因子分解ツール、行列の逆ツールなどのツールが役立つかもしれません。

よくある質問 (FAQ)

ベクトルとは何ですか？

ベクトルは、大きさ（長さ）と方向の両方を持つ量です。ベクトルは、2Dまたは3D空間の座標（x, y）または（x, y, z）で表されます。

このツールを物理の問題に使えますか？

はい。力、速度、変位、その他のベクトル関連の量を含む問題を解決するのに役立ちます。

ドット積とクロス積の違いは何ですか？

ドット積はスカラー値を生成し、2つのベクトル間の角度に関連します。クロス積は、元の2つのベクトルに垂直な別のベクトルを生成します（3Dの場合のみ）。

ベクトルを数値で乗算するだけの場合はどうすればよいですか？

スカラー倍のオプションを使用して、定数値（例：長さを2倍にする）でベクトルをスケールします。

計算がどのように行われたかを見ることはできますか？

はい。計算する前に「計算手順を表示」ボックスをチェックすると、詳細な内訳を表示できます。

役立つかもしれない関連ツール

  • ベクトルスカラー乗算計算機 – スカラーでベクトルを簡単に乗算します。
  • ドット積計算機 – スカラー積を迅速に計算します。
  • クロス積計算機 – 3Dベクトルの乗算を処理します。
  • 行列の逆計算機 – 行列を介してベクトルシステムを解決するのに役立ちます。
  • LU行列因子分解ツール – システムを解決するために行列を下部および上部の成分に分解します。

このベクトル計算機は、ベクトルを学ぶまたは扱うすべての人にとって実用的で信頼できるツールです。幅広い演算をサポートし、結果を明確かつ情報豊富な方法で提示します。