関数の合成計算機

カテゴリー：代数と一般
- 2025年7月19日
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このインタラクティブツールを使って関数の合成を計算し、視覚化します。関数を入力し、希望の順序で合成し、特定の入力値に対して結果を評価します。

関数定義

f(x) =
g(x) =
h(x) =

合成設定

合成: (f ∘ g)(x) = f(g(x))
g(x)
→
f(x)
=
(f ∘ g)(x)

評価

結果:
5
計算ステップ:

視覚化

関数合成の理解

関数合成は、ある関数を別の関数の結果に適用する数学的操作です。fとgが関数である場合、合成 (f ∘ g)(x) は f(g(x)) に相当し、最初に g を x に適用し、その結果に f を適用します。

関数合成の性質
  • 可換ではない: 一般に、(f ∘ g)(x) ≠ (g ∘ f)(x)
  • 結合的: (f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h)
  • 定義域の制限: 合成の定義域は、両方の関数が定義されている値に制限されます
  • 単位関数: f ∘ I = I ∘ f = f, ここで I(x) = x は単位関数です
一般的な例
線形関数

f(x) = 2x + 1 および g(x) = 3x - 2 の場合:

(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(3x - 2) = 2(3x - 2) + 1 = 6x - 4 + 1 = 6x - 3

(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = 3(2x + 1) - 2 = 6x + 3 - 2 = 6x + 1

多項式および根関数

f(x) = x² および g(x) = √x の場合:

(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(√x) = (√x)² = x

(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(x²) = √(x²) = |x|

応用
  • コンピュータグラフィックス: 回転、スケーリング、平行移動などの変換は関数合成を使用します
  • 機械学習: ニューラルネットワークは活性化関数の合成を適用します
  • 物理学: 複雑な動きを単純な変換の合成として記述します
  • 経済学: 財務システムにおける複合効果をモデル化します

数式リファレンス

基本的な算術
+, -, *, /, ^
2*x + 3, x^2 - 1
平方根
sqrt(x)
sqrt(x+1)
三角関数
sin(x), cos(x), tan(x)
sin(x^2), 2*cos(x)
対数関数
log(x), ln(x)
log(x+1), 2*ln(x)
指数関数
exp(x)
exp(2*x), 3*exp(-x)
絶対値
abs(x)
abs(x-2)

この計算機は数値的手法を使用して関数の合成を評価します。複雑な関数や特定の定義域の制限を含む場合、数値的近似には限界があることがあります。高度な数学的分析には、専門の数学ソフトウェアの使用を検討してください。

関数の合成計算機とは何ですか？

関数の合成計算機は、ユーザーが数学的関数を組み合わせて評価するのを助けるインタラクティブなツールです。数学を学んでいる場合や、工学、物理学、データ分析で数式を扱っている場合、この計算機は関数の合成を構築、理解、視覚化する方法を簡素化します。

合成の公式：

(f ∘ g)(x) = f(g(x))

計算機の使い方

関数を合成して評価するための簡単な手順は次のとおりです：

  • 関数を定義する： f(x)、g(x)、または h(x) のような関数の式を、馴染みのある構文（例：2*x + 1、sqrt(x)）を使用して入力します。
  • 合成の順序を選択する： (f ∘ g)(x) のような合成を選択するか、関数をドラッグ＆ドロップしてカスタムの順序を構築します。
  • 評価する： 合成された関数の最終結果を計算するために x の値を入力します。ツールはステップバイステップの結果を表示します。
  • 視覚化する： グラフエリアを使用して、個々の関数とそれらの合成をさまざまな x の値にわたって確認します。
  • リセットまたは追加する： デフォルトにリセットするか、より高度な合成のためにさらに関数を追加できます。

なぜこの計算機を使用するのですか？

この計算機は、関数の合成を学び、適用するのを簡単かつ視覚的にします。特に役立つのは：

  • 関数の操作や代数を学んでいる学生
  • 合成された関数の挙動を示す教師
  • 数学的表現を評価し、プロットする明確な方法が必要な人

平方根、三角関数、指数関数などをサポートしており、科学計算機や数学ソルバーツールで期待されるものに似ています。

合成の例

  • もし f(x) = 2x + 1 かつ g(x) = x^2 なら：
  • (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x²) = 2x² + 1
  • (g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)²

役立つヒント

  • sin(x)、exp(x)、または log(x) のような関数を使用してください—科学的関数ツールのように。
  • 行列変換を解くことや工学の公式を適用するのと同様に、複数のステップの操作のために合成をカスタマイズします。
  • 視覚チャートは、関数のレイヤーが結果にどのように影響するかを理解するのに役立ちます。これは行列計算やパーセント誤差ステップのようです。

よくある質問

  • 関数の合成とは何ですか？ それは、一つの関数を別の関数の結果に適用することを意味します。操作のシーケンスとして考えてください。
  • 高度な関数を使用できますか？ はい。このツールは平方根、対数、三角関数、指数関数をサポートしています。
  • 計算ステップを表示しますか？ もちろんです。関数が適用される順序で各ステップが表示されます。これはパーセント誤差計算機や指数計算機を使用するのと似ています。
  • 自分の関数チェーンを構築できますか？ はい。ドラッグ＆ドロップエリアを使用して、好みの順序で関数を配置します。

どのように役立つか

この計算機は単なる数学ツール以上のもので、あなたを助けます：

  • 関数の挙動を理解する： 入力や順序を変更することで出力にどのように影響するかを見ることができます。
  • 複雑な公式を構築する： 対数ソルバーやルート計算機での操作を組み合わせるように。
  • 結果を明確に視覚化する： 分数計算機が分数を分解するのと同様に、このツールは関数を分解します。

あなたがパーセント誤差の説明を評価している場合でも、行列代数ツールのように関数のレイヤーを構築している場合でも、関数の合成計算機はそれを正しく行うための明確さと柔軟性を提供します。