シンプレックス法計算機

カテゴリー：代数と一般
- 2025年5月17日
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シンプレックス法を使用して線形計画問題を解決します。この計算機は、制約条件に従って目的関数を最適化し、意思決定変数の最適値を見つけるのに役立ちます。

問題設定

線形計画法について

線形計画法は、線形の目的関数を線形の等式および不等式制約に従って最適化するために使用される数学的手法です。経済学、ビジネス、製造、輸送など、さまざまな分野で広く応用されています。

線形計画問題の主要な要素
  • 意思決定変数: 決定する必要がある量。
  • 目的関数: 最大化または最小化する必要がある線形方程式。
  • 制約条件: 意思決定変数の値を制限する線形不等式または方程式。
  • 非負条件: 意思決定変数は通常、非負である必要があります。
線形計画法の応用
  • 生産計画: 利益を最大化するための最適な製品ミックスを決定する。
  • 資源配分: 限られた資源を効率的に配分する。
  • 輸送と物流: 最適な輸送ルートを設計する。
  • 投資ポートフォリオの最適化: リターンを最大化またはリスクを最小化するための投資を選択する。
  • ブレンド問題: 材料やコンポーネントの最適な混合物を見つける。
シンプレックス法のステップ
  1. スラック変数を追加して問題を標準形式に変換します。
  2. 初期シンプレックス表を形成します。
  3. 現在の解が最適かどうかを確認します。最適であれば、停止します。
  4. 入る変数と出る変数を決定します。
  5. 新しい表を得るために基本的な行操作を行います。
  6. 最適解が見つかるまでステップ3-5を繰り返します。

シンプレックス法とは何ですか？

シンプレックス法は、線形計画問題を解決するために使用される数学的アルゴリズムです。これは、線形不等式または等式制約のセットに従って線形目的関数を最適化するための強力な手法です。この方法は、最適な解を見つけるために、実行可能領域の頂点で実行可能な解を反復し、目的関数の最良の値が達成されるまで続けます。

線形計画問題は、リソース配分、生産スケジューリング、輸送、金融などの現実のシナリオでしばしば発生します。シンプレックス法は、これらの問題を効率的に解決するための体系的なアプローチを提供します。

シンプレックス法計算機の特徴

  • ユーザーが線形目的関数（例：3x_1 + 4x_2）を入力できる。
  • ≤、=、≥のオプションを持つ不等式および等式制約をサポート。
  • ユーザーが最大化と最小化の目的を選択できる。
  • ビッグM法と二段階法の2つの解法を提供。
  • 中間テーブルと最終テーブルを含むステップバイステップの計算を表示。
  • 2D問題の実行可能領域と最適解を視覚化。

シンプレックス法計算機の使い方

  1. 提供されたフィールドに目的関数を入力します（例：3x_1 + 4x_2）。
  2. 「最大化？」ボックスをチェックまたはチェック解除して、問題が最大化問題か最小化問題かを指定します。
  3. 線形不等式または等式の形で制約を入力します。例えば：
    • 2x_1 + x_2 ≤ 100
    • x_1 + 2x_2 = 80
    「+ 制約を追加」ボタンを使用して追加の制約を追加します。
  4. ドロップダウンメニューから解法（ビッグM法または二段階法）を選択します。
  5. 「計算」をクリックして問題を解決します。結果には、最適解、最終テーブル、および視覚化が表示されます。
  6. フィールドをリセットして最初からやり直したい場合は、「クリア」ボタンをクリックします。

使用例

目的： \(3x_1 + 4x_2\) を最大化する

制約：

  • \(2x_1 + x_2 ≤ 100\)
  • \(x_1 + 2x_2 ≤ 80\)
  • \(x_1, x_2 ≥ 0\)

ステップ：

  • スラック変数 \(s_1\) と \(s_2\) を追加して不等式を等式に変換します。
  • 変数と制約の係数を使って初期シンプレックステーブルを設定します。
  • ピボットを使ってテーブルを反復的に解決し、最適解に到達します。
  • 最終解が目的関数の最大値とともに表示されます。

結果： \(x_1 = 20\)、\(x_2 = 30\)、最大値は \(180\) です。

よくある質問

  • 線形計画法とは何ですか？
    線形計画法は、関係が線形である与えられた数学モデルにおいて、最良の結果（最大利益または最小コストなど）を決定するために使用される数学的手法です。
  • ビッグM法と二段階法とは何ですか？
    ビッグM法は、実行可能性を確保するために大きなペナルティ（\(M\) と表記）を持つ人工変数を追加し、二段階法は問題を2段階で解決します：まず実行可能な解を見つけ、次に目的関数を最適化します。
  • 「最大化」チェックボックスは何をしますか？
    このボックスをチェックすると、問題が最大化問題として解決されます。チェックを外すと、計算機は最小化問題を前提とします。
  • 計算機は非線形問題を扱えますか？
    いいえ、計算機は目的関数と制約が線形である線形計画問題専用に設計されています。
  • 問題が無限大の場合はどうなりますか？
    解が無限大の場合、計算機は有限の最適解がないことを示すメッセージを表示します。

シンプレックス法計算機を使用する利点

  • 面倒な手動計算を自動化することで時間を節約します。
  • ステップバイステップの内訳を提供し、学生にとって貴重な学習ツールとなります。
  • 実行可能領域と解を視覚化し、理解を深めます。
  • 複数の制約と変数を持つ複雑な問題を効率的に処理します。