ド・モアブルの定理計算機

カテゴリー：代数II

- 2025年5月16日

| |

デモワールの定理を使用して複素数の累乗と平方根を計算します: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ

複素数入力

入力方法:

実部 (a):

虚部 (b):

演算

zⁿ 累乗

ⁿ√z 平方根

指数値 (n):

表示オプション

小数点以下の桁数:

手順を表示

視覚化を表示

デモワールの定理について

デモワールの定理は、極形式の複素数の累乗と平方根を計算するための公式を提供します。これは、極形式 r∠θ (または re^iθ) の任意の複素数に対して次のように述べています:

(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ

または同等に: (re^iθ)ⁿ = rⁿe^inθ

応用

複素数の累乗: 大きさを累乗し、角度を掛けることで zⁿ を簡単に計算できます。
複素数の平方根: 次の公式を使用して複素数 z のすべての n^th 根を見つけます:
ⁿ√z = z^1/n = r^1/n∠(θ/n + 2πk/n)

ここで k = 0, 1, 2, ..., n-1 はすべての異なる根を与えます。
三角関数の恒等式: デモワールの定理は cos(nθ) と sin(nθ) の公式を導出するために使用できます。

数学的背景

この定理はオイラーの公式に基づいています: e^iθ = cos(θ) + i·sin(θ)、これは複素指数関数と三角関数を結びつけます。この接続により、複素数は三つの同等の形式で表現できます:

直交形式: z = a + bi
極形式: z = r∠θ = r(cos(θ) + i·sin(θ))
指数形式: z = re^iθ

デモワールの定理は、複素数の計算を簡素化し、大きさと角度を別々に操作できるようにします。

ド・モアブルの定理とは？

ド・モアブルの定理は、極形式で表現された複素数とその累乗および根に関連する基本的な数学原則です。この定理は、任意の複素数 $z = r (\cos θ + i \sin θ)$ と整数 $n$ に対して、 $z^{n}$ の累乗を次のように計算できることを示しています：

$z^{n} = r^{n} (\cos (n θ) + i \sin (n θ)) .$

この定理は、特に複素数を累乗したり、その根を求めたりする際に、複素数計算を簡素化するのに非常に役立ちます。極座標を使用することで、ド・モアブルの定理は面倒な代数計算を回避し、数学や工学において不可欠なツールとなっています。

ド・モアブルの定理計算機の使い方

ド・モアブルの定理計算機は、極形式で表現された任意の複素数にこの定理を適用するのを簡単にします。以下は、効果的に使用する方法です：

大きさ $r$ を入力： 複素数の大きさ（複素平面における原点から点までの距離）を入力します。
角度 $θ$ を度で入力： 複素数の角度を度で指定します。これは、実軸と原点から複素平面の点を結ぶ線との間に形成される角度です。
累乗 $n$ を入力： 複素数を累乗したい値を提供します。
「計算」をクリック： 計算機は、指定された累乗に上げられた複素数の新しい極形式と直交形式（実部と虚部）を計算します。
グラフを表示： 計算機は、結果の複素数をグラフに表示し、その実部と虚部を示します。
「クリア」をクリック： このボタンを使用して、入力と結果をリセットします。

計算機の利点

ド・モアブルの定理を使用して複雑な計算を自動化します。
理解を深めるために明確なステップバイステップの解決策を提供します。
直感的な理解のために結果をグラフで視覚化します。
数学、物理学、工学のさまざまな使用例をサポートします。

ステップバイステップの例

計算機がどのように機能するかを示すために、例を考えてみましょう。大きさ $r = 2$ 、角度 $θ = 45 °$ の複素数があり、これを累乗 $n = 3$ に上げたいとします。

角度 $θ$ を度からラジアンに変換します： $ラジアンでの角度 = \frac{θ \cdot π}{180} = \frac{45 \cdot π}{180} = 0.785 ラジアン .$
新しい大きさを計算します： $r^{n} = 2^{3} = 8.$
新しい角度を計算します： $n \cdot θ = 3 \cdot 45 ° = 135 ° .$
新しい極形式を書きます： $z^{3} = 8 (\cos (135 °) + i \sin (135 °)) .$
直交形式に変換します： $z = - 5.66 + 5.66 i .$

計算機はこれらのすべてのステップを自動で実行し、結果とグラフを瞬時に表示します。

よくある質問 (FAQ)

極形式とは何ですか？
極形式は、複素数を $r (\cos θ + i \sin θ)$ として表現する方法で、ここで $r$ は大きさ、 $θ$ は角度です。
負の累乗にこの計算機を使用できますか？
はい、計算機は正の累乗と負の累乗の両方をサポートしています。
角度がラジアンの場合はどうなりますか？
現在、計算機は角度を度で入力する必要があります。ラジアンを度に変換するには、 $θ_{d e g} = θ_{r a d} \cdot \frac{180}{π}$ を使用します。
結果の精度はどのくらいですか？
計算機は、可読性を高めるために結果を小数点以下2桁に丸めて提供します。計算には完全な精度が使用されます。
グラフは何を示していますか？
グラフは、結果の複素数をその実部と虚部でプロットし、複素平面における位置を視覚化するのに役立ちます。

結論

ド・モアブルの定理計算機は、極形式の複素数を任意の累乗に上げるための強力なツールです。学生、教師、または専門家であっても、このツールはプロセスを簡素化し、複素数の理解を深めます。今すぐ試して、数学の美しさを探求してください！

代数II 計算機: