カール計算機

著者: Henrick Yau

- 2026年8月5日

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ベクトル場の特定の点でのカールを計算します。カールはベクトル場の回転または循環の尺度であり、物理学や工学で一般的に使用されます。

ベクトル場入力

ベクトル場の種類:

ベクトル成分 F(x,y,z) = F₁i + F₂j + F₃k

F₁(x,y,z) 成分:

F₂(x,y,z) 成分:

F₃(x,y,z) 成分:

評価点

x座標:

y座標:

z座標:

表示オプション

小数点以下の桁数:

計算手順を表示

ベクトル解析におけるカールについて

ベクトル場のカールは、ベクトル場の無限小回転を記述するベクトル演算子です。これは、場の各点での循環密度の尺度です。

物理的には、ベクトル場のカールは、面に垂直な方向の単位面積あたりの循環です。例えば、流体力学では、速度場のカール (∇ × v) は渦度であり、流体の局所的な回転を測定します。

カールの応用

流体力学: 速度場のカールは流体の渦度を与えます。
電磁気学: マクスウェルの方程式は、電場と磁場のカールをその源に関連付けます。
ストークスの定理: カールの面積積分を境界周りの線積分に関連付けます。
ヘルムホルツ分解: 任意のベクトル場は、カールのない部分と発散のない部分に分解できます。

カールの性質

勾配のカールは常にゼロです: ∇ × (∇f) = 0
カールのカールは次のように表現できます: ∇ × (∇ × F) = ∇(∇·F) - ∇²F
保守的なベクトル場では、カールはどこでもゼロです
カールは線形演算子です: ∇ × (αF + βG) = α(∇ × F) + β(∇ × G)

ベクトル場の回転を計算するツール

カール計算機は、三次元空間におけるベクトル場のカールを計算するために設計された強力なツールです。この操作はベクトル解析の基本概念であり、流体の回転や磁場および電場の挙動など、フィールドの回転特性を記述するために物理学や工学で広く使用されています。

カールの定義と数式

ベクトル場のカールは、特定の点における場の回転傾向を測定します。数学的には、ベクトル場 ( \mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k} ) に対して、カールは次のように定義されます：

[ \nabla \times \mathbf{F} = \begin{bmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \ P & Q & R \end{bmatrix} ]

この行列式は、成分に展開されます：

[ \nabla \times \mathbf{F} = \begin{bmatrix} \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \ \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \end{bmatrix} ]

入力項目と機能一覧

入力ベクトル場成分：ベクトル場の ( P(x, y, z) )、( Q(x, y, z) )、および ( R(x, y, z) ) 成分を入力します。
特定の点で評価：オプションで、特定の点でカールを計算するために ( x )、( y )、および ( z ) の値を提供します。
視覚化：3Dベクトル場の視覚化により、回転特性を視覚的に探求できます。
例：あらかじめ定義された例により、ツールの理解とテストが容易になります。

計算手順の説明

ベクトル場成分を入力：
( P(x, y, z) )、( Q(x, y, z) )、および ( R(x, y, z) ) の式を入力します。
例を選択（オプション）：
ドロップダウンからあらかじめ定義された例を選択して、入力を自動的に埋めます。
評価点を指定（オプション）：
必要に応じて、特定の点でカールを計算するために ( x )、( y )、および ( z ) の数値を提供します。
計算：
「計算」ボタンをクリックしてカールを計算し、計算のステップバイステップの内訳を含む結果を表示します。
クリア：
「クリア」ボタンを使用して入力と結果をリセットします。

具体例による計算過程

( P = yz )、( Q = xz )、および ( R = xy ) の場合：

偏微分を計算： [ \frac{\partial Q}{\partial z} = x, \quad \frac{\partial R}{\partial y} = x ] [ \frac{\partial R}{\partial x} = y, \quad \frac{\partial P}{\partial x} = 0 ] [ \frac{\partial P}{\partial y} = z, \quad \frac{\partial Q}{\partial x} = z ]
カール成分を計算： [ \text{カール X} = \frac{\partial Q}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial y} = x - x = 0 ] [ \text{カール Y} = \frac{\partial R}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial x} = y - 0 = y ] [ \text{カール Z} = \frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x} = z - z = 0 ]
結果： [ \nabla \times \mathbf{F} = \begin{bmatrix} 0 \ y \ 0 \end{bmatrix} ]