ラプラス変換計算機

カテゴリー：微積分
- 2025年4月6日
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一般的な関数や式のラプラス変換と逆ラプラス変換を計算します。 時間領域（t）または周波数領域（s）で関数を入力してください。

変換タイプ

関数入力

t =

一般的な変換

一般的なラプラス変換ペア

時間領域 f(t) 周波数領域 F(s) 条件

ラプラス変換について

ラプラス変換は、実変数 t（通常は時間）の関数を複素変数 s（周波数）の関数に変換する積分変換です。微分方程式を代数方程式に変換し、解きやすくします。

定義

関数 f(t) のラプラス変換は次のように定義されます：

F(s) = ℒ{f(t)} = ∫0∞ e-st f(t) dt

逆ラプラス変換は次のように定義されます：

f(t) = ℒ-1{F(s)} = 1/(2πi) ∫γ-i∞γ+i∞ est F(s) ds
主な性質
  • 線形性： ℒ{af(t) + bg(t)} = aℒ{f(t)} + bℒ{g(t)}
  • 微分： ℒ{f'(t)} = sℒ{f(t)} - f(0)
  • 積分： ℒ{∫0t f(τ)dτ} = F(s)/s
  • シフト： ℒ{eatf(t)} = F(s-a)
  • 時間遅延： ℒ{f(t-a)u(t-a)} = e-asF(s)
応用
  • 常微分方程式および偏微分方程式の解法
  • 電子回路および制御システムの解析
  • 信号処理およびシステム解析
  • 機械振動および熱伝達

ラプラス変換計算機とは？

ラプラス変換計算機は、ユーザーがラプラス変換および逆ラプラス変換を解くのを助ける実用的なツールです。これらの変換は、時間領域と周波数領域の間で関数を変換するために使用されます。これは、工学、物理学、そして高度な数学において不可欠な技術です。

この計算機は、特に微分方程式、システム分析、または信号処理に取り組む学生、教育者、専門家にとって便利です。

ラプラス変換：

\( F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} f(t) \, dt \)

逆ラプラス変換：

\( f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i\infty} e^{st} F(s) \, ds \)

計算機の使い方

ラプラス変換計算機を効果的に使用するための簡単な手順は次のとおりです：

  • 変換タイプを選択：「ラプラス変換」（時間 → 周波数）または「逆ラプラス変換」（周波数 → 時間）を選択します。
  • 関数を入力：選択した変換に応じて、tまたはsの形式で式を入力します。
  • オプション：変数の数値を指定して、その点での計算結果を得ることができます。
  • 精度を選択：最終的な答えに必要な小数点以下の桁数を選択します。
  • 「変換を計算」をクリック：ツールが結果を計算し、ステップバイステップの説明を提供します。

便利な機能

  • ラプラス変換と逆ラプラス変換の両方をサポート
  • 迅速な参照のための一般的な変換の表を含む
  • 使用された解法ステップと変換特性を表示
  • 関数値のオプションの数値評価を提供
  • 微分方程式を迅速に解くのに最適

このツールを使用する理由は？

ラプラス変換の手動計算は時間がかかり、エラーが発生しやすいです。この計算機はプロセスを簡素化し、即座に結果を提供します。電気回路、機械システム、または数学モデルを学んでいる場合でも、このツールは作業の流れを加速します。

この計算機は、偏微分計算機（多変数微分用）、不定積分計算機（不定積分を見つけるため）、および二階導関数計算機（曲率と凹凸の分析用）など、他の数学ツールを補完します。これは、極限計算機を使用して関数の極限を見つけたり、積分計算機を使用してオンラインで積分を解いたりするための、より広範なツールキットの一部です。

一般的な使用例

  • 常微分方程式（ODE）の解法
  • 制御システムと回路応答の分析
  • 周波数領域の表現から時間領域の挙動を評価
  • 過渡または定常状態システムに関する工学および物理学の応用

FAQ

Q: どのような関数を入力できますか？

例えば、t^2、sin(3t)、e^(-2t)、または1/s^2のような式を入力できます。計算機は自動的に一般的な形式を識別するか、一致しない場合はガイダンスを提供します。

Q: 私の関数が認識されない場合はどうなりますか？

入力が既知の変換と一致しない場合、計算機はその旨を通知します。インターフェースに含まれる一般的な変換の表を参照するか、入力を修正してみてください。

Q: 宿題や課題の確認に使用できますか？

はい、ラプラス変換の結果を確認し、解法ステップを理解するのに最適で、学習を強化します。

Q: 逆変換にも対応していますか？

もちろんです。「逆ラプラス変換」に変換タイプを切り替え、sの形式で周波数領域の関数を入力してください。

Q: 他の計算機と一緒に使えますか？

確かに。暗黙的導関数計算機、平均値定理計算機、またはヤコビアン計算機などのツールと一緒に使用して、幅広い微積分およびシステム分析の問題をカバーできます。

結論

ラプラス変換計算機は、迅速かつ正確な変換結果を必要とするすべての人にとって役立つ、使いやすいツールです。ラプラス方程式を解いたり、システムの挙動を分析したり、微分方程式を簡素化したりする際に、明確な出力と説明を提供します。方向導関数計算機や関数平均値計算機などの他の計算機と一緒に使用して、さらに多くの種類の数学的問題を自信を持って扱うことができます。