逆導関数計算機

著者: Henrick Yau
- 2026年8月5日
| |

計算機

関数の不定積分（逆導関数）を求めます。この計算機は、導関数から元の関数を特定するのに役立ちます。

入力関数

表示オプション

不定積分と積分について

関数 f(x) の不定積分（または逆導関数）とは、導関数が f(x) である関数 F(x) のことです。 つまり、F'(x) = f(x) であれば、F(x) は f(x) の不定積分です。

不定積分の主な性質
  • F(x) が f(x) の不定積分であれば、F(x) + C も不定積分であり、C は任意の定数です。
  • 和の不定積分は不定積分の和です: ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
  • 定数倍の法則: ∫k·f(x)dx = k·∫f(x)dx, ここで k は定数です。
  • 冪の法則: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C, ここで n ≠ -1。
  • e^x の積分: ∫e^x dx = e^x + C
  • 1/x の積分: ∫(1/x)dx = ln|x| + C
積分の応用

不定積分と積分には多くの応用があります:

  • 曲線下および曲線間の面積を求めること
  • 三次元物体の体積を計算すること
  • 微分方程式を解くこと
  • 物理学の応用: 労力、エネルギー、運動
  • 確率と統計
  • 工学: 応力解析、流体力学など

逆導関数とは？

逆導関数は、与えられた関数の逆の導関数を計算するのに役立ちます。関数 ( f(x) ) に対して、その逆の導関数 ( f^{-1}(x) ) は次の式を使って求められます：

( (f^(-1)(x))' = 1 / f'(f^(-1)(x)) )

この式は、関係式 ( f(f^(-1)(x)) = x ) から導かれます。両辺を ( x ) に関して微分すると、次のようになります：

( f'(f^(-1)(x)) * (f^(-1)(x))' = 1 )

( (f^(-1)(x))' ) を解くと、次のようになります：

( (f^(-1)(x))' = 1 / f'(f^(-1)(x)) )

この概念は、特定の点で逆関数がどれだけ速く変化するかを分析するために、微積分で特に有用です。

逆導関数計算機の特徴

  • 詳細なステップ: 関数と ( x ) 値を入力すると、詳細なステップバイステップの解答が表示されます。
  • 例の関数: ( f(x) = x^2 + 1 )、( f(x) = e^x )、または ( f(x) = ln(x) ) のようなプリロードされた関数で計算機を試すことができます。
  • グラフィカルな視覚化: 計算機は関数とその逆導関数の両方をプロットします。

逆導関数計算機の使い方

  1. 関数を入力: 逆導関数を計算したい関数 ( f(x) ) を入力します。例えば：x^2 + 1 または e^x。
  2. ( x ) 値を指定: 逆関数の導関数を計算したい点を入力します。
  3. 計算をクリック: 結果と計算の詳細な説明を表示します。
  4. プリロードされた例を探る: ドロップダウンメニューを使って例の関数を試し、計算機の動作を確認します。

例の手順

例えば、( f(x) = x^2 + 1 ) の逆導関数を ( x = 2 ) で計算したいとします：

  1. ( f(x) ) の導関数は：

( f'(x) = 2 * x )

  1. ( f'(2) ) を評価します：

( f'(2) = 2 * 2 = 4 )

  1. 逆導関数の式を使います：

( (f^(-1)(x))' = 1 / f'(f^(-1)(x)) )

( x = 2 ) のとき、逆導関数は：

( (f^(-1)(2))' = 1 / 4 = 0.25 )

この計算機を使用する主な利点

  • 複雑な関数の逆導関数を迅速に計算できます。
  • インタラクティブなグラフで関数とその逆導関数を視覚化できます。
  • ステップバイステップの解答を通じてプロセスを理解できます。