シンプソンのルール計算機

著者: Henrick Yau

- 2026年8月5日

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数値的に定積分を計算するためにシンプソンのルールを使用します。この計算機は、等間隔の点を通る放物線をフィッティングすることによって、指定された区間の関数の積分を近似します。

積分パラメータ

積分する関数:

変数としてxを使用します。数学関数: sin, cos, tan, log, sqrtなど。

下限 (a):

上限 (b):

区間の数 (n):

シンプソンのルールには偶数である必要があります

視覚化オプション

関数のプロットを表示

近似領域を表示

シンプソンのルールの理解

シンプソンのルールは定積分の数値近似法です。これは二次多項式を使用して関数を近似し、台形法のような単純な方法よりも高い精度を提供します。

公式

\begin{align} \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + \ldots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right] \end{align}

ここで:

h = (b - a) / n は各サブ区間の幅です
n はサブ区間の数（偶数である必要があります）
x_i = a + i·h は等間隔の点です

誤差項

シンプソンのルールにはO(h⁵)の誤差項があり、誤差はh⁴に比例します。具体的には:

\text{誤差} \approx -\frac{b-a}{180}h^4 f^{(4)}(\xi)

ここでf⁽⁴⁾(ξ)は、aとbの間のある点ξでのfの4階導関数です。

他の方法との比較

中点法: 誤差はO(h³)で、シンプソンのルールよりも精度が低い
台形法: 誤差はO(h³)で、シンプソンのルールよりも精度が低い
シンプソンの3/8法: シンプソンのルールと同様の精度
ガウス求積法: 特定の関数クラスに対してより高い精度

免責事項: この計算機は数値的近似を提供しますが、特に特異点や急激な振動を持つ関数に対しては誤差が含まれる可能性があります。重要な結果は、可能な限り他の方法や解析的解で確認してください。

シンプソンのルールによる定積分近似とは

シンプソンのルール計算機は、定積分の値を推定するインタラクティブなツールです。複雑な積分を手作業で解く代わりに、この計算機は信頼性の高い数値的方法を適用して、シンプソンのルールとして知られる曲線下の面積を近似します。解析的に積分するのが難しい、または不可能な関数に特に役立ちます。

\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + \dots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right] \]

この方法は、区間を偶数の部分に分割し、関数のグラフ上の点を通る放物線をフィットさせます。台形法や中点法よりも高い精度を提供します。

学生やエンジニアに役立つ理由

学生、教師、エンジニア、または好奇心旺盛な学習者であれば、シンプソンのルール計算機は次のことを助けます：

定積分を迅速に推定する
曲線下の面積がどのように近似されるかを視覚化する
区間数を変更することの影響を理解する
誤差分析を行い、収束挙動を表示する

また、定積分や不定積分を解くための積分計算機や、反導関数を見つけるための反導関数計算機など、他のツールを補完します。多変数関数を扱っている場合は、部分導関数を計算したり、多変数の微分を分析したりするために偏導関数計算機をチェックしてください。

関数と区間を入力して積分を計算

定積分の正確な近似を得るために、次の簡単な手順に従ってください：

入力ボックスに積分したい関数を入力します（変数としてxを使用）。
積分区間の下限と上限を設定します。
区間の数を選択します（偶数でなければなりません）。
オプションで、関数のプロットと近似の視覚化を有効にします。
"積分を計算"をクリックして、結果、プロット、および内訳を表示します。

いつでも「リセット」ボタンを使用して計算機をリセットできます。

難しい積分の面積近似と誤差分析

シンプソンのルール計算機を使用して：

正確な積分を計算するのが難しいときに曲線下の面積を近似する
積分ソルバーからの正確な解と数値結果を比較する
区間を増やして収束を分析する
異なる区間数にわたる誤差の挙動について洞察を得る

特に、作業を確認したり、二次導関数計算機や方向導関数計算機などのツールからの結果を補完するのに便利です。