ラプラス変換計算機

カテゴリー：微積分
- 2025年4月2日
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対応している関数と例:

1. 累乗関数

形式: t^n （nは正の整数）

例: t^2, t^3, t^4

2. 指数関数

形式: e^(nt) （nは任意の数値）

例: e^(2t), e^(-3t), e^(0.5t)

3. 三角関数

形式: sin(nt) または cos(nt) （nは任意の数値）

正しい例: sin(2t), cos(3t), sin(0.5t)

誤った例: sin(at), cos(at) （文字を使用しないでください）

4. tとの積関数

形式: t*関数 （関数は指数関数または三角関数）

正しい例: t*e^(2t), t*sin(3t), t*cos(4t)

誤った例: t*e^(at), t*sin(at) （文字を使用しないでください）

5. 指数関数と三角関数の組み合わせ

形式: e^(nt)*trig(mt) （n, mは数値、trigはsinまたはcos）

正しい例: e^(2t)*sin(5t), e^(-3t)*cos(2t)

誤った例: e^(at)*sin(bt) （文字を使用しないでください）

ラプラス変換計算機：複雑な変換を簡素化する

ラプラス変換計算機は、さまざまな数学関数のラプラス変換を計算するために設計された使いやすいツールです。この記事では、ラプラス変換の目的、計算機の効果的な使い方、およびよくある質問に対する回答を説明します。

ラプラス変換とは？

ラプラス変換は、時間の関数 ( f(t) ) を複素変数 ( s ) の関数 ( F(s) ) に変換するために使用される強力な数学的手法です。ラプラス変換は、特に微分方程式や制御理論において、システムの分析を簡素化するために、工学、物理学、数学で広く使用されています。

関数 ( f(t) ) のラプラス変換は次のように表されます：

[ \mathcal{L}{f(t)} = F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st} \, dt ]

時間領域の関数を周波数領域に変換することにより、ラプラス変換は複雑な問題を解決するのをより簡単にします。

計算機の特徴

計算機は、次のような幅広い関数をサポートしています：

  • 冪関数： ( t^n ) （ここで ( n ) は正の整数）
  • 指数関数： ( e^{at} ) （ここで ( a ) は任意の実数）
  • 三角関数： ( \sin(at) )、( \cos(at) )、および指数関数との組み合わせ
  • 積関数： ( t \cdot f(t) )、例えば ( t \cdot e^{at} ) や ( t \cdot \sin(at) )
  • 組み合わせ関数： ( e^{at} \sin(bt) ) や ( e^{at} \cos(bt) ) のような関数

計算機の使い方

ステップバイステップの指示

  1. 関数を入力：
  2. 関数 ( f(t) ) を入力してください： と表示されたテキストフィールドに、変換したい関数を入力します。

  3. 例：

    • ( t^2 )
    • ( e^{2t} )
    • ( \sin(3t) )
    • ( t \cdot e^{2t} )
    • ( e^{2t} \sin(5t) )

  4. 計算をクリック：

  5. 計算ボタンを押してラプラス変換を計算します。

  6. 計算機は：

    • 関数のタイプを特定します。
    • 対応するラプラス変換の公式を適用します。
    • 結果と簡単な説明を表示します。

  7. 解を表示：

  8. 結果には次のものが含まれます：

    • 元の関数 ( f(t) )。
    • 適用されたラプラス変換の公式。
    • 簡略化された変換 ( F(s) )。

  9. フィールドをクリア：

  10. クリアボタンをクリックして入力をリセットし、新しい計算を開始します。

サポートされている関数の例

計算機はさまざまな関数をサポートしています。以下はそのいくつかの例です：

1. 冪関数

  • 入力： ( t^2 )
  • 出力： ( \mathcal{L}{t^2} = \frac{2!}{s^3} = \frac{2}{s^3} )

2. 指数関数

  • 入力： ( e^{2t} )
  • 出力： ( \mathcal{L}{e^{2t}} = \frac{1}{s - 2} )

3. 三角関数

  • 入力： ( \sin(3t) )
  • 出力： ( \mathcal{L}{\sin(3t)} = \frac{3}{s^2 + 9} )

4. 積関数

  • 入力： ( t \cdot e^{2t} )
  • 出力： ( \mathcal{L}{t \cdot e^{2t}} = \frac{1}{(s - 2)^2} )

5. 組み合わせ関数

  • 入力： ( e^{2t} \sin(5t) )
  • 出力： ( \mathcal{L}{e^{2t} \sin(5t)} = \frac{5}{(s - 2)^2 + 25} )

よくある質問 (FAQ)

ラプラス変換の目的は何ですか？

ラプラス変換は、微分方程式を代数方程式に変換することによって動的システムの分析を簡素化し、解決しやすくします。

計算機はどのようなタイプの関数をサポートしていますか？

計算機は冪関数、指数関数、三角関数、および ( t \cdot f(t) ) や ( e^{at} \sin(bt) ) のような組み合わせをサポートしています。

計算機は中間ステップを表示しますか？

はい！計算機はラプラス変換を計算するために使用された公式の簡単な説明を提供します。

関数にカスタム変数や文字を入力できますか？

いいえ。計算機は数字と変数 ( t ) を持つ関数のみを受け付けます。係数を定義するために数字を使用してください。

サポートされていない関数を入力した場合はどうなりますか？

計算機はエラーメッセージを表示し、サポートされている関数のリストを確認するように提案します。

計算機の利点

  • 時間を節約：手動計算なしで迅速にラプラス変換を計算できます。
  • 学習をサポート：変換プロセスを理解するための説明を提供します。
  • 広範な機能：工学や数学で使用されるほとんどの一般的な関数をカバーしています。

このラプラス変換計算機は、システムや微分方程式に取り組む学生、エンジニア、専門家にとって優れたツールです。ぜひお試しください、あなたの作業をどのように簡素化できるかを見てみましょう！