シンプソンのルール計算機

カテゴリー：微積分
- 2025年7月30日
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数値的に定積分を計算するためにシンプソンのルールを使用します。この計算機は、等間隔の点を通る放物線をフィッティングすることによって、指定された区間の関数の積分を近似します。

積分パラメータ

変数としてxを使用します。数学関数: sin, cos, tan, log, sqrtなど。
シンプソンのルールには偶数である必要があります

視覚化オプション

シンプソンのルールの理解

シンプソンのルールは定積分の数値近似法です。これは二次多項式を使用して関数を近似し、台形法のような単純な方法よりも高い精度を提供します。

公式
\begin{align} \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + \ldots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right] \end{align}

ここで:

  • h = (b - a) / n は各サブ区間の幅です
  • n はサブ区間の数（偶数である必要があります）
  • xi = a + i·h は等間隔の点です
誤差項

シンプソンのルールにはO(h5)の誤差項があり、誤差はh4に比例します。具体的には:

\text{誤差} \approx -\frac{b-a}{180}h^4 f^{(4)}(\xi)

ここでf(4)(ξ)は、aとbの間のある点ξでのfの4階導関数です。

他の方法との比較
  • 中点法: 誤差はO(h3)で、シンプソンのルールよりも精度が低い
  • 台形法: 誤差はO(h3)で、シンプソンのルールよりも精度が低い
  • シンプソンの3/8法: シンプソンのルールと同様の精度
  • ガウス求積法: 特定の関数クラスに対してより高い精度

免責事項: この計算機は数値的近似を提供しますが、特に特異点や急激な振動を持つ関数に対しては誤差が含まれる可能性があります。重要な結果は、可能な限り他の方法や解析的解で確認してください。

シンプソンのルール計算機とは？

シンプソンのルール計算機は、定積分の値を推定するインタラクティブなツールです。複雑な積分を手作業で解く代わりに、この計算機は信頼性の高い数値的方法を適用して、シンプソンのルールとして知られる曲線下の面積を近似します。解析的に積分するのが難しい、または不可能な関数に特に役立ちます。

\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + \dots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right] \]

この方法は、区間を偶数の部分に分割し、関数のグラフ上の点を通る放物線をフィットさせます。台形法や中点法よりも高い精度を提供します。

なぜ使うのか？

学生、教師、エンジニア、または好奇心旺盛な学習者であれば、シンプソンのルール計算機は次のことを助けます：

  • 定積分を迅速に推定する
  • 曲線下の面積がどのように近似されるかを視覚化する
  • 区間数を変更することの影響を理解する
  • 誤差分析を行い、収束挙動を表示する

また、定積分や不定積分を解くための積分計算機や、反導関数を見つけるための反導関数計算機など、他のツールを補完します。多変数関数を扱っている場合は、部分導関数を計算したり、多変数の微分を分析したりするために偏導関数計算機をチェックしてください。

計算機の使い方

定積分の正確な近似を得るために、次の簡単な手順に従ってください：

  1. 入力ボックスに積分したい関数を入力します（変数としてxを使用）。
  2. 積分区間の下限と上限を設定します。
  3. 区間の数を選択します（偶数でなければなりません）。
  4. オプションで、関数のプロットと近似の視覚化を有効にします。
  5. "積分を計算"をクリックして、結果、プロット、および内訳を表示します。

いつでも「リセット」ボタンを使用して計算機をリセットできます。

一般的な使用例

シンプソンのルール計算機を使用して：

  • 正確な積分を計算するのが難しいときに曲線下の面積を近似する
  • 積分ソルバーからの正確な解と数値結果を比較する
  • 区間を増やして収束を分析する
  • 異なる区間数にわたる誤差の挙動について洞察を得る

特に、作業を確認したり、二次導関数計算機や方向導関数計算機などのツールからの結果を補完するのに便利です。

よくある質問

Q: どのような関数を入力できますか？
変数としてxを使用する任意の関数。一般的な式には多項式、三角関数、指数関数、対数が含まれます。例えば：x^2 + sin(x)。

Q: なぜ区間の数は偶数でなければならないのですか？
シンプソンのルールは、区間のペアにわたって放物線をフィットさせることに依存しています。奇数の区間はこのペアリングを壊します。

Q: この方法の精度はどのくらいですか？
シンプソンのルールは滑らかな関数に対して非常に高い精度を持ち、区間が増えると改善されます。計算機は誤差と収束情報も表示します。

Q: 私の関数がある点で未定義の場合はどうなりますか？
区間内に特異点や不連続点を持つ関数は避けてください。これらは不正確な結果や評価エラーを引き起こす可能性があります。

最後の考え

この計算機は、微積分を学び、積分に関する実世界の問題を解決するための便利な仲間です。これは、導関数計算機、逆導関数計算機、および極限計算機などの数学ツールの広範なスイートの一部であり、高度な数学の概念を学び、適用するのを簡素化します。