テイラー級数計算機

カテゴリー：微積分

- 2025年4月2日

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関数 \( f(x) \) を入力してください: 例: 中心点 (\( a \)): 次数 (\( n \)):

テイラー級数とは何ですか？

テイラー級数は、関数を無限の項の和として表現するもので、これは関数の導関数の値を単一の点で計算することから得られます。これにより、複雑な関数を多項式を使用して近似することができ、計算や分析が容易になります。

関数 \( f(x) \) のテイラー級数の一般的な公式は、点 \( a \) の周りで次のようになります：

\[ f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + \dots \]

この級数は、関数の近似、微分方程式の解法、現実のシステムのモデル化において、特に微積分や数学的分析で有用です。

入力フィールドに関数 \( f(x) \) を入力します。例としては \( \sin(x) \)、\( e^x \)、または \( \ln(x+1) \) があります。
テイラー級数が展開される中心点 \( a \) を選択します。
多項式近似の次数を決定するための次数 \( n \) を指定します。
「計算」ボタンをクリックしてテイラー級数を計算します。
結果を表示し、級数展開と詳細な計算ステップを確認します。
必要に応じて、ドロップダウンから例を選択してフィールドを事前に入力します。
「クリア」ボタンをクリックしてすべてのフィールドをリセットし、新しい計算を開始します。

入力例:

出力例:

中心 \( a = 0 \) の周りで \( n = 5 \) までの \( \sin(x) \) のテイラー級数展開：

\[ \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \dots \]

テイラー級数とマクローリン級数の違いは何ですか？
テイラー級数は任意の点 \( a \) の周りに中心を持ちますが、マクローリン級数は \( a = 0 \) の周りに中心を持つテイラー級数の特別なケースです。
この計算機は高次導関数を扱えますか？
はい、計算機はテイラー展開のために任意の次数の導関数を計算する数学ライブラリを使用しています。
無効な関数を入力した場合はどうなりますか？
関数が無効な場合、計算機はエラーメッセージを表示します。入力が標準的な数学的構文に従っていることを確認してください。
テイラー級数の近似はどれくらい正確ですか？
正確さは次数 \( n \) に依存します。高い値の \( n \) は、特に中心点 \( a \) の近くでより正確な近似を提供します。
テイラー級数の一般的な応用は何ですか？
テイラー級数は、関数の近似、微分方程式の解法、数値解析の実施において微積分で使用されます。