二次近似計算機

カテゴリー：微積分

- 2025年4月2日

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関数 \( f(x) \) を入力してください: 点 \( x_0 \):

二次近似とは何ですか？

二次近似は、特定の点 ( x_0 ) の近くで関数 ( f(x) ) の挙動を近似するために使用される方法です。この技術は、関数を二次形式に展開します：

[ Q(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{1}{2}f''(x_0)(x - x_0)^2 ]

ここで、各項の寄与は次のとおりです： - ( f(x_0) )：( x_0 ) における関数の値。 - ( f'(x_0) )：( x_0 ) における接線の傾きで、線形項を表します。 - ( f''(x_0) )：関数の曲率で、二次項に寄与します。

この方法は、関数が直接評価するには複雑すぎる場合や非線形関数を近似する場合に特に有用です。

私たちの二次近似計算機は、指定された点 ( x_0 ) における関数 ( f(x) ) の二次近似を見つけるプロセスを簡素化します。次の手順に従ってください：

関数を入力：
指定された入力ボックスに関数 ( f(x) ) を入力します。例えば：sqrt(x) + 5/sqrt(x)。
点を指定：
近似が必要な点 ( x_0 ) を入力します。例えば：9。
計算：
計算ボタンをクリックします。計算機は二次近似を計算し、詳細な手順と最終結果を展開形式と簡略形式の両方で表示します。
解を表示：
解を確認します。これには以下が含まれます：
- 関数値 ( f(x_0) )、
- 一階および二階導関数 ( f'(x_0) ) と ( f''(x_0) )、
- 二次近似の公式とその簡略形式。
入力をクリア：
フィールドをリセットするには、クリアボタンをクリックします。

ステップ 1： ( f(x_0) ) を計算： [ f(9) = \frac{14}{3} ]
ステップ 2：一階導関数を計算し、( x_0 ) で評価： [ f'(x) = -\frac{5}{2\sqrt{x}^3} + \frac{1}{2\sqrt{x}}, \quad f'(9) = \frac{2}{27} ]
ステップ 3：二階導関数を計算し、( x_0 ) で評価： [ f''(x) = \frac{15}{4\sqrt{x}^5} - \frac{1}{4\sqrt{x}^3}, \quad f''(9) = \frac{1}{162} ]
二次近似の公式： [ Q(x) \approx \frac{14}{3} + \frac{2}{27}(x - 9) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{162}(x - 9)^2 ]
簡略化： [ Q(x) \approx \frac{x^2}{324} + \frac{x}{54} + \frac{17}{4} ]

A: 二次近似は、関数を近似的に二次多項式として簡素化することで、複雑な関数を扱いやすくします。これは、微積分や最適化で一般的に使用されます。

A: はい、指定された点 ( x_0 ) で二階導関数まで微分可能な関数であれば使用できます。

A: 計算機は、入力を修正するためのガイダンスを提供するエラーメッセージを表示します。

A: 分数は正確な値を提供し、計算の精度を確保します。

二次近似計算機は、関数の正確な近似が必要な学生、教育者、専門家にとって強力なツールです。ステップバイステップの解法と明確な分数出力を提供することで、この計算機は正確さと理解を保証します。

今すぐ始めて、二次近似があなたの数学的課題をどのように簡素化できるかを探ってみてください！