接平面計算機

カテゴリー：微積分

- 2025年4月2日

| |

関数 \( f(x, y, z) = k \): 点 \( (x_0, y_0, z_0) \):

解答

グラフ

接線平面計算機：目的と使い方

接線平面とは？

接線平面は、三次元空間の特定の点で与えられた表面に「ちょうど触れる」平面です。それは、その点の近くの表面の近似であり、幾何学、微積分、工学において局所的な挙動を理解するために役立ちます。接線平面の方程式は、表面方程式の偏微分と与えられた点の座標を使用して導出されます。

例えば、表面 ( f(x, y, z) = k ) に対して、点 ( (x_0, y_0, z_0) ) での接線平面は次の式を使用して計算されます： [ \frac{\partial f}{\partial x}(x - x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(y - y_0) + \frac{\partial f}{\partial z}(z - z_0) = 0 ]

この方程式は、平面が特定の点で表面に接していることを保証します。

接線平面計算機の使い方

接線平面計算機は、表面 ( f(x, y, z) = k ) の特定の点での接線平面方程式を見つけるプロセスを簡素化します。以下の手順で効果的に使用できます：

使用手順：

関数を入力：
入力フィールドに表面方程式 ( f(x, y, z) = k ) を入力します。例：x^2 + y^2 + z^2 = 14。
点を指定：
接線平面を求めたい点 ( (x_0, y_0, z_0) ) の座標を入力します。例：( (1, 3, 2) )。
計算：
「計算」ボタンをクリックします。計算機は：
- 表面方程式の ( x )、( y )、および ( z ) に関する偏微分を計算します。
- 偏微分と点を接線平面方程式に代入します。
解を表示：
計算機は接線平面方程式と計算の詳細なステップを表示します。
グラフを視覚化：
接線平面とその表面との関係を示す簡略化されたグラフが表示され、理解を深めます。
入力をクリア：
「すべてクリア」をクリックして、計算機をデフォルトの例にリセットします。

接線平面計算機の主な機能

使いやすいインターフェース：クリーンで直感的なレイアウトで、表面方程式と点の座標を入力できます。
詳細なステップ：計算のステップを追ってプロセスを理解できます。
グラフィカルな視覚化：接線平面の2D表現を表示します。
事前に設定された例：迅速なテストのために事前にロードされた例から始めることができます。

よくある質問

1. どのような方程式を入力できますか？

任意の形式の方程式 ( f(x, y, z) = k ) を入力できます。例： - ( x^2 + y^2 + z^2 = 14 ) - ( x^2 + y^2 - z = 10 )

2. 有効な入力を提供しなかった場合はどうなりますか？

計算機は、有効な方程式と点を入力するように求めるエラーメッセージを表示します。

3. 計算の精度はどのくらいですか？

計算機は、Math.jsなどの高度なライブラリを使用して偏微分を計算し、関数を評価するため、高い精度を確保しています。

4. 暗黙的な表面に使用できますか？

はい、計算機は ( f(x, y, z) = k ) の暗黙的な表面を処理するように特別に設計されています。

5. 計算機をリセットできますか？

はい、「すべてクリア」をクリックすると、入力フィールドがデフォルトの例の値にリセットされます。

例の手順

表面方程式が ( x^2 + y^2 + z^2 = 14 ) で、点が ( (1, 3, 2) ) の場合を考えます。

入力：
関数：x^2 + y^2 + z^2 = 14
点：( (1, 3, 2) )
偏微分：
( \frac{\partial f}{\partial x} = 2x )
( \frac{\partial f}{\partial y} = 2y )
( \frac{\partial f}{\partial z} = 2z )
値を代入：
( (1, 3, 2) ) のとき：
- ( \frac{\partial f}{\partial x} = 2(1) = 2 )
- ( \frac{\partial f}{\partial y} = 2(3) = 6 )
- ( \frac{\partial f}{\partial z} = 2(2) = 4 )
接線平面： [ 2(x - 1) + 6(y - 3) + 4(z - 2) = 0 ] 簡略化： [ 2x + 6y + 4z = 28 ]

結論

接線平面計算機は、三次元空間の表面に対して接線平面を迅速かつ正確に計算するための強力なツールです。その直感的なインターフェースと詳細な出力により、微積分や3D幾何学に取り組む学生、エンジニア、研究者に最適です。