方向微分計算機

カテゴリー：微積分
- 2025年4月2日
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方向微分とは？

方向微分は、特定の点から特定の方向に移動する際に関数がどのように変化するかを測定します。これは、xやyのような個々の変数に焦点を当てるのではなく、ベクトル方向を考慮することによって部分微分の概念を拡張します。

  • 簡単に言えば、特定の点における特定の方向での関数 f(x, y, z) の変化率を計算します。
  • 数学的には次のように表されます：

D_v f = ∇f ⋅ v̂

ここで： - ∇f は関数の勾配ベクトルで、すべての変数に関する部分微分を含みます。 - v̂ は正規化された（単位長さの）方向ベクトルです。

  • 方向微分の結果は、与えられた方向で関数が増加しているのか、減少しているのか、または一定であるのかを示す単一の数値です。

方向微分計算機の主な特徴

  • 動的入力： 任意の多変数関数、評価点、および方向ベクトルを入力します。
  • ステップバイステップの説明： 計算機は詳細なステップを提供し、勾配と方向微分がどのように計算されるかを示します。
  • グラフィカルな視覚化： グラフは方向ベクトルに沿った関数の挙動を表示します。
  • 組み込みの例： 提供された例を使って、一般的な関数のツールを迅速にテストします。

方向微分計算機の使い方

入力フィールド：

  1. 関数を入力： x^2 + y^2 + z^2 や sin(x) * cos(y) のような多変数関数を指定します。
  2. 評価点： 微分が評価される点を提供します（例：1,1,1）。
  3. 方向ベクトル： 微分を計算する方向のベクトルを入力します（例：1,2,3）。

例のドロップダウン：

  • 定義済みの例を選択してフィールドを自動的に入力します：
  • f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 を (1, 1, 1) で方向 v = (1, 1, 1) にて。
  • f(x, y) = sin(x) * cos(y) を (0, 0) で方向 v = (1, 1) にて。
  • f(x, y) = e^(x + y) を (1, 2) で方向 v = (0, 1) にて。

ボタン：

  • 計算： 計算を実行し、結果、ステップ、およびグラフを表示します。
  • クリア： すべての入力フィールドと出力をリセットします。

例のウォークスルー：f(x, y) = sin(x) * cos(y)

入力：

  • 関数：sin(x) * cos(y)
  • 点：(0, 0)
  • 方向ベクトル：(1, 1)

計算：

  1. 勾配ベクトルを計算：
  2. ∂f/∂x = cos(x) * cos(y)

  3. ∂f/∂y = -sin(x) * sin(y)

  4. (0, 0) で評価：

  5. ∂f/∂x(0, 0) = 1

  6. ∂f/∂y(0, 0) = 0

  7. 方向ベクトル (1, 1) を正規化：

  8. 単位ベクトル：v̂ = (1/√2, 1/√2)

  9. 方向微分を計算： D_v f = (1, 0) ⋅ (1/√2, 1/√2) = 1/√2

結果：

  • 方向微分：1/√2

視覚化：

  • グラフは、与えられた点から方向ベクトルに沿った関数の挙動を示します。

計算機を使用する利点

  • 効率性： 面倒な手動微分と評価を自動化します。
  • 明確さ： プロセスをステップバイステップで説明し、学習や検証に最適です。
  • 多様性： 2つまたは3つの変数を持つ関数を処理し、任意の方向で微分を計算します。

方向微分計算機を使用するタイミング

  • 数学と物理学： 多変数関数における勾配と変化率を分析します。
  • 機械学習とAI： 勾配方向に沿ったコスト関数の挙動を評価します。
  • 工学と最適化： 特定の制約や方向に従った関数の変化を評価します。

グラフィカル出力

  • グラフが生成され、方向ベクトルに沿った関数の挙動を示します。
  • x軸は t を表し、方向ベクトルに沿った距離を示します。
  • y軸は f(t) を表し、その距離に沿った関数の値を示します。