発散計算機

カテゴリー：微積分
- 2025年4月2日
| |

発散計算機

ダイバージェンス計算機：説明と使用ガイド

ダイバージェンス計算機は、三次元ベクトル場のダイバージェンスを計算するために設計されたインタラクティブなツールです。ベクトル場 ( \mathbf{F}(x, y, z) ) のダイバージェンスを計算し視覚化する直感的な方法を提供し、ダイバージェンスの象徴的表現と特定の点での評価を提供します。さらに、このツールはベクトル場のグラフィカルな視覚化を生成し、ユーザーがその挙動をより深く理解できるようにします。

ダイバージェンスとは？

ダイバージェンスは、ベクトル場が特定の点でどの程度広がっているか、または収束しているかを測定するスカラー量です。数学的には、ベクトル場 ( \mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k} ) のダイバージェンスは次のように表されます：

[ \text{div} \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} ]

  • ダイバージェンスが正の場合、その点でベクトル場は広がっている。
  • ダイバージェンスが負の場合、その点でベクトル場は収束している。
  • ダイバージェンスがゼロの場合、その点で場はソレノイダルであると言われます。

この計算機は、象徴的なダイバージェンスと特定の点で数値的に評価するオプションの両方を提供します。

ダイバージェンス計算機の特徴

  • 象徴的ダイバージェンス： ベクトル場の成分の偏微分を自動的に計算し、ダイバージェンス方程式を構築します。
  • 点評価： 特定の点 ( (x, y, z) ) でダイバージェンスを数値的に評価します。
  • グラフィカルな視覚化： Plotlyのインタラクティブな3Dプロット機能を使用して、ベクトル場の3D表現を表示します。
  • ドロップダウン例： 探索のために事前定義されたベクトル場の例を迅速に読み込みます。
  • エラーハンドリング： 無効または不完全な入力が適切に処理されることを保証します。

ダイバージェンス計算機の使用方法

計算機を効果的に使用するための簡単な手順は次のとおりです：

  1. ベクトル場を入力：
  2. ベクトル場の ( P(x, y, z) )、( Q(x, y, z) )、および ( R(x, y, z) ) の成分をそれぞれの入力ボックスに入力します。

  3. 例えば：

    • ( P(x, y, z) = \sin(xy) )
    • ( Q(x, y, z) = \cos(xy) )
    • ( R(x, y, z) = e^z )

  4. 例を選択：

  5. ドロップダウンメニューを使用して、事前定義されたベクトル場の例を読み込みます。

  6. 評価点を指定（オプション）：

  7. 特定の点でダイバージェンスを評価したい場合は、対応するフィールドに ( x )、( y )、および ( z ) の値を入力します。

  8. 「計算」をクリック：

  9. 計算機は：

    • 象徴的ダイバージェンスを計算します。
    • 指定された点でダイバージェンスを評価します（提供された場合）。
    • 計算のステップバイステップの内訳を表示します。
    • ベクトル場の3D視覚化を生成します。

  10. 入力をクリア：

  11. 「クリア」ボタンを使用して計算機をリセットします。

例のウォークスルー

例のベクトル場：

[ \mathbf{F}(x, y, z) = \sin(xy)\mathbf{i} + \cos(xy)\mathbf{j} + e^z\mathbf{k} ]

  1. 成分を入力：
  2. ( P(x, y, z) = \sin(xy) )
  3. ( Q(x, y, z) = \cos(xy) )

  4. ( R(x, y, z) = e^z )

  5. 「計算」をクリックします。計算機は：

  6. 偏微分を計算します：
    • ( \frac{\partial P}{\partial x} = y\cos(xy) )
    • ( \frac{\partial Q}{\partial y} = -x\sin(xy) )
    • ( \frac{\partial R}{\partial z} = e^z )
  7. それらを組み合わせて次を求めます： [ \text{div} \mathbf{F} = y\cos(xy) - x\sin(xy) + e^z ]

  8. 評価点 ( (x=1, y=1, z=0) ) が提供された場合、結果は次のように評価されます： [ \text{div} \mathbf{F}(1, 1, 0) = 1\cdot \cos(1) - 1\cdot \sin(1) + e^0 = \cos(1) - \sin(1) + 1 \approx 1.5403 ]

  9. グラフ上に生成された3Dベクトル場を視覚化します。

FAQ

1. ベクトル場の成分にサポートされている入力形式は何ですか？

計算機は ( x )、( y )、および ( z ) に関する関数をサポートしています。例としては： - 多項式関数： ( x^2, y^2 + z ) - 三角関数： ( \sin(xy), \cos(z) ) - 指数関数： ( e^z, x \cdot e^y )

2. 評価点を提供しなかった場合はどうなりますか？

評価点が指定されていない場合、計算機は象徴的ダイバージェンス方程式のみを表示します。

3. この計算機を2Dベクトル場に使用できますか？

はい、単に ( R(x, y, z) ) 成分を空白のままにするか、ゼロに設定してください。

4. 3Dベクトル場の視覚化はどのように生成されますか？

計算機はPlotlyを使用してインタラクティブな3Dベクトル場グラフを作成します。各矢印は、特定の点での場の方向と大きさを表します。

5. 入力にエラーがある場合はどうなりますか？

計算機は、成分の欠落や無効な式などのエラーをチェックします。説明的なエラーメッセージが表示され、問題を修正する手助けをします。

まとめ

ダイバージェンス計算機は、ダイバージェンスの計算を自動化し、明確な視覚表現を提供することで、ベクトル場の分析プロセスを簡素化します。学生、教師、または専門家であっても、このツールは3D空間におけるベクトル場の挙動を理解するのに最適です。今すぐ探索を始めて、この強力な計算機の可能性を最大限に引き出しましょう！