三重積分計算機

カテゴリー：微積分
- 2025年7月21日
| |

さまざまな領域にわたる三重積分を計算し、視覚化します。この計算機は、積分の範囲を設定し、領域を視覚化し、結果を計算するのに役立ちます。

積分設定

デカルトの場合は x, y, z; 円柱の場合は r, theta, z; 球の場合は rho, theta, phi を使用してください
積分範囲 (デカルト)
x:
から
y:
から
z:
から
現在の領域:
半径1の上半球、原点を中心とする
オプション
プリセット領域

三重積分の理解

三重積分は、三次元空間の領域にわたる関数の体積積分を表します。これは、単一および二重積分の概念を三次元に拡張したものです。

定義

三次元空間の領域 V にわたる関数 f(x,y,z) の三重積分は次のように定義されます:

∭V f(x,y,z) dV

これは、領域 V 全体にわたる f の値の合計を、体積要素 dV で重み付けしたものを表します。

異なる座標系

三重積分は、異なる座標系で評価できます:

デカルト: ∭ f(x,y,z) dx dy dz

円柱: ∭ f(r,θ,z) r dr dθ dz

球: ∭ f(ρ,θ,φ) ρ² sin(φ) dρ dθ dφ

座標系の選択は、計算を簡素化するために問題の対称性に一致させるべきです。

応用

三重積分には多くの実用的な応用があります:

  • 複雑な3D形状の体積を計算する
  • 固体物体の重心を求める
  • 物理学における慣性モーメントを計算する
  • 領域内の総電位または重力ポテンシャルを決定する
  • 流体力学や電磁気学の問題を解決する

免責事項: この計算機は教育目的のための近似値を提供します。高精度を必要とする重要なアプリケーションには、専門の数学ソフトウェアで結果を確認するか、専門の数学者に相談してください。

トリプルインテグラル計算機とは？

トリプルインテグラル計算機は、三次元空間における表面下の体積を計算する方法であるトリプルインテグラルを評価し理解するのに役立つ、使いやすいオンラインツールです。デカルト座標、円筒座標、または球座標を使用している場合でも、この計算機を使用すると、被積分関数を定義し、積分範囲を入力し、シンボリックおよび数値的な解を受け取ることができます。オプションで段階的なガイダンスや3Dビジュアライゼーションも提供されます。

∭V f(x, y, z) dV = ∫∫∫ f(x, y, z) dz dy dx

このツールを使用する理由は？

この計算機は、以下のことが必要な学生、教育者、専門家に役立ちます：

  • 3D空間内の領域の体積を求める
  • 異なる座標系での積分を計算する
  • 積分範囲が幾何学的形状にどのように関連するかを理解する
  • 積分プロセスの段階的な内訳を得る
  • 多変数微積分の直感を構築するために3D領域を視覚化する

計算機の使い方

  1. 座標系を選択： 領域の形状に基づいて、デカルト（x, y, z）、円筒（r, θ, z）、または球（ρ, θ, φ）から選択します。
  2. 被積分関数を入力： 例えば、デカルト座標でのx^2 + y^2 + z^2。
  3. 積分範囲を指定： 各変数の下限と上限を入力します。単位球や円柱のようなプリセット形状を使用することもできます。
  4. オプションを選択： 段階的な解法、数値結果、または視覚化を表示するかどうかを切り替えます。
  5. 「積分を計算」をクリック： 結果を表示し、各積分ステップの内訳を確認し、可能であれば3Dビジュアライゼーションと対話します。

主な機能

  • デカルト、円筒、球座標をサポート
  • シンボリックおよび数値的な結果を提供
  • 一般的な形状のためのプリセット領域を含む
  • 回転とズームで3D領域を視覚化
  • 学習のために積分の各ステップを分解

関連トピックの学習に役立つ

トリプルインテグラルは、他の多変数微積分のトピックとともに現れることがよくあります。この計算機は、以下のようなツールを補完します：

  • 偏微分計算機： 偏微分や多変数微分ソルバーを使用して、特定の変数に沿った関数の変化を探ります。
  • 不定積分計算機： 不定積分を計算し、積分問題を段階的に解決します。
  • 積分計算機： 基礎的な練習のために、単変数の定積分または不定積分を解決します。
  • 方向微分計算機： 勾配を理解し、特定の方向で関数がどのように変化するかを学びます。
  • 接平面計算機： 微分解析を使用して、点で表面を最もよく近似する平面を見つけます。

よくある質問（FAQ）

トリプルインテグラルは何に使われますか？

トリプルインテグラルは、三次元領域内の体積、質量、その他の量を計算するために一般的に使用されます。これは物理学、工学、そして多変数微積分の重要な概念です。

どの座標系を選ぶべきですか？

領域の対称性に合ったものを使用してください：

  • デカルト – 立方体、箱、長方体に
  • 円筒 – 円柱や円形に
  • 球 – 球、半球、放射対称に

この計算機はステップを表示できますか？

はい。「段階的な解法を表示」オプションを有効にすると、積分が段階的に解かれるのを見ることができ、学習や作業の確認に最適です。

数値結果だけが欲しい場合はどうすればよいですか？

「数値結果を計算」を有効にすると、近似的な小数値を得ることができます。これは、シンボリックな積分が複雑すぎる場合に便利です。

これは教室での使用に適していますか？

もちろんです。この計算機は、学生や教育者が問題を練習したり、宿題を確認したり、学習セッション中に使用するのに最適です。

この計算機が役立つ理由

体積を計算したり、物理システムを分析したり、微積分の理解を深めたりする際に、トリプルインテグラル計算機は明確で実用的な洞察を提供します。これは、多変数微積分において、偏微分、積分技術、ベクトル解析などの他の概念とシームレスに連携する実用的なツールです。