曲率計算機

カテゴリー：微積分

- 2025年4月4日

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関数 \( f(x) \) を入力してください:

評価点 \( x \):

曲率計算機：完全ガイド

曲率計算機とは？

曲率計算機は、関数 ( f(x) ) によって定義された曲線の曲率（( \kappa )）を計算するために設計された多用途のツールです。曲率は、特定の点で曲線がどれだけ急に曲がっているかを測定し、微積分、幾何学、物理学の基本的な概念です。

曲率の公式は次のように与えられます：

[ \kappa(x) = \frac{|f''(x)|}{\left(1 + \left(f'(x)\right)^2\right)^{3/2}} ]

ここで： - ( f(x) ) は与えられた関数です。 - ( f'(x) ) は ( f(x) ) の1階導関数です。 - ( f''(x) ) は ( f(x) ) の2階導関数です。

この計算機は、導関数の計算を自動化し、曲線を視覚化することで、曲率を見つけるプロセスを簡素化します。

曲率計算機の使い方

曲率計算機の使用は簡単です：

関数を入力：
入力フィールドに関数 ( f(x) ) を入力します（例：x^2、sin(x)、ln(x+1)）。
評価点を選択または入力：
曲率を計算したい ( x ) 値を選択します。このステップをスキップすると、計算機は一般的な曲率の公式を提供します。
例のためのドロップダウンを使用：
ドロップダウンメニューを使用して、( x^2 ) や ( \sin(x) ) などの例の関数をすぐに読み込むことができます。
計算をクリック：
計算機が曲率を計算し、結果を表示し、ステップバイステップの説明を提供します。
曲線を視覚化：
より良い洞察のために、区間 ([-10, 10]) にわたる関数 ( f(x) ) のグラフを表示します。
入力をクリア：
クリアをクリックして入力をリセットし、新しい計算を開始します。

計算機の特徴

曲率の公式と評価：
曲率の一般的な公式を提供し、指定された場合には特定の点で評価します。
ステップバイステップの説明：
1階および2階導関数の計算と曲率の公式を詳述します。
グラフィカルな表現：
曲線の挙動を視覚的に理解するために、( f(x) ) のグラフを表示します。
プリロードされた例：
実験するための例の関数をすぐに選択できます。例えば：
- ( f(x) = x^2 )
- ( f(x) = \sin(x) )
- ( f(x) = \ln(x+1) )
モバイルフレンドリーなデザイン：
デスクトップとモバイルデバイスの両方に最適化されており、どこでもアクセス可能です。

よくある質問

1. 曲率とは何ですか？

曲率は、特定の点で曲線がどれだけ急に曲がっているかを測定します。高い曲率は急な曲がりを示し、低い曲率は曲線が直線に近いことを意味します。

2. どのような関数を入力できますか？

次のものを入力できます： - 多項式（例：( x^2, x^3 - 2x )） - 三角関数（例：( \sin(x), \cos(x) )） - 対数関数（例：( \ln(x+1) )） - 有理関数（例：( \frac{1}{1+x^2} )）

3. 曲率はどのように計算されますか？

計算機は： 1. ( f'(x) )、すなわち ( f(x) ) の1階導関数を計算します。 2. ( f''(x) )、すなわち ( f(x) ) の2階導関数を計算します。 3. 曲率の公式 ( \kappa(x) = \frac{|f''(x)|}{\left(1 + \left(f'(x)\right)^2\right)^{3/2}} ) を適用します。

4. ( x ) 値を指定する必要がありますか？

いいえ、( x ) 値が指定されていない場合、計算機は一般的な公式を提供します。ただし、( x ) を指定すると数値的な曲率値が得られます。

5. ステップを見ることはできますか？

はい、計算機は次のことを示します： - ( f(x) ) の1階および2階導関数。 - これらの導関数を曲率の公式に代入した結果。

6. 関数を視覚化できますか？

はい、( f(x) ) のグラフが範囲 ([-10, 10]) にわたって表示され、曲線の形状や曲がりを確認できます。

例題計算

問題：

( f(x) = \sin(x) ) の ( x = \pi/4 ) における曲率を求めよ。

計算機を使用した解法：

関数フィールドに ( f(x) = \sin(x) ) を入力します。
評価点フィールドに ( x = \pi/4 ) を入力します。
計算をクリックします。

出力：

曲率の公式： [ \kappa(x) = \frac{|-\sin(x)|}{\left(1 + \cos^2(x)\right)^{3/2}} ]
( x = \pi/4 ) における曲率： [ \kappa = 0.2929 ]
ステップ：
( f'(x) = \cos(x) ) を計算します。
( f''(x) = -\sin(x) ) を計算します。
( \kappa = \frac{|-\sin(\pi/4)|}{\left(1 + \cos^2(\pi/4)\right)^{3/2}} ) を評価します。

また、視覚化のために ( f(x) = \sin(x) ) のグラフも表示されます。

なぜ曲率計算機を使用するのか？

このツールは、曲率を計算するプロセスを簡素化し、時間と労力を節約します。学生、教育者、専門家を問わず、曲率計算機は次のことを提供します： - 正確な結果。 - 詳細な説明。 - グラフィカルな表現。

今日、曲率計算機を試して、すべての曲線分析ニーズに応じてください！